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Sujet du devoir
Bonjours a toutes et a tous, je voudrais vérifier si mes résultats sont bon, et si on peut m'aider pour ce que je n'ai pas compris Merci :DOn considere la suite (un) d'entiers naturels définie par: u0=1, et pour tout entier naturel n, un+1= 10un + 21
1) a)Calculer U1 u2 et u3
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 3un= 10^n+1 -7
n
c) Calculer Σ10^k. En déduire l'écriture décimale de un, pour tout entier n. k=1
J’espère que vous comprendrez le Σ (sigma)
Où j'en suis dans mon devoir
Pour le a) je trouveu1=31
u2=331
u3=3331
b) Démontrons par récureence que pour toout entier naturel 3un= 10^n+1 -7
Montrons a un rang n=0 que P vrai
3u0= 10^1 -7
3=10-7 Soit P(o) vrai
Supposons à un rang n, P(n) vrai
Montrons a un rang n+1, P(n+1) vrai
3un+1 = 10^n+2 -7
3un+1 = 10^n + 10^2 -7
3un+1 = 93+10^n
3un+1 = 10^n x10 -7
Donc P(n+1) vrai
Donc par l'axiome de récurrence P(n) vrai
Corrigez moi aussi pour la rédaction du 2 svp ^^ voila merci
20 commentaires pour ce devoir
On obtient, apres =10*(10^(n+1)-7)+63
=10*10^(n+1)-10*7 +63
Soit 10^(n+2) - 7
Ok merci, ^^
=10*10^(n+1)-10*7 +63
Soit 10^(n+2) - 7
Ok merci, ^^
de rien :)
c'est bon pour la suite ?
c'est bon pour la suite ?
POur le c) non, j'ai du mal avec le sigma et, j'ai rien compris, a ce qu'on nous demande de calculer, car si k=1 ba 10^k = 10 non?
si k=1 , 10^k = 10 ---- oui bien sur
en fait pour la c) je ne comprends pas trop pourquoi on te demande de calculer la somme...
sans doute en écrivant l'énoncé "en ligne" il y a qq chose qui manque (ou qui m'échappe)
tu peux scanner l'énoncé ?
en fait pour la c) je ne comprends pas trop pourquoi on te demande de calculer la somme...
sans doute en écrivant l'énoncé "en ligne" il y a qq chose qui manque (ou qui m'échappe)
tu peux scanner l'énoncé ?
Je suis désoler mais j'ai pas de scan chez moi, mais effectivement, j'ai oublié d'écrire "pour tout entier naturel n"
et je sais pas si tu as compris mais sa donne sa normalement
n
Σ 10^k
k=1
et je sais pas si tu as compris mais sa donne sa normalement
n
Σ 10^k
k=1
ba sa ne passe pas, c'est sigma a la place de Σ
par contre je peut essayer de mettre une photo
non en fait je ne peut pas
si tu peux scanner ou photographier, passe par un hébergeur, par ex. :
http://www.hostingpics.net/
http://www.hostingpics.net/
n
somme(10^k)
k=1
oui alors, c'est bien ce que j'avais lu au début.
je réfléchis plus intensément et je reviens :)
somme(10^k)
k=1
oui alors, c'est bien ce que j'avais lu au début.
je réfléchis plus intensément et je reviens :)
je fais le point:
les premiers de Un sont :
u0 = 1
u1 = 31
u2 = 331
u3 = 3331
u4 = 33331
---
on a 3un = 10^n+1 - 7
donc
Un = [ 10^(n+1) - 7] / 3
par ex pour n = 2 : U2 = [ 10^(2+1) - 7] / 3 = (1000-7)/3=331
c) calculer somme(10^k) --> (10/9)(10^n - 1)
En déduire l'écriture décimale de un
--> tu es sure de l'exactitude de cette question ?
je ne vois pas le lien :/
les premiers de Un sont :
u0 = 1
u1 = 31
u2 = 331
u3 = 3331
u4 = 33331
---
on a 3un = 10^n+1 - 7
donc
Un = [ 10^(n+1) - 7] / 3
par ex pour n = 2 : U2 = [ 10^(2+1) - 7] / 3 = (1000-7)/3=331
c) calculer somme(10^k) --> (10/9)(10^n - 1)
En déduire l'écriture décimale de un
--> tu es sure de l'exactitude de cette question ?
je ne vois pas le lien :/
Mais, je ne pense pas que sigma soit somme, j'essaye de te mettre la photo sur le site
je crois que j'ai trouvé.
je reviens !
je reviens !
je mets S pour Sigma
n
S 10^k = 10 * (10^k -1) / (10-1) = (10/9) (10^k -1)
1
<=> (10^k -1) = S * (9/10)
<=> 10^k = S * (9/10) + 1
<=> 10 * 10^k = 10 (S * (9/10) + 1)
<=> 10^(k+1) = 9S + 10
or
3un = 10^n+1 - 7 <=> Un = (10^(k+1) - 7) / 3
donc
Un = (9S + 10 - 7) / 3
= (9S + 3) / 3 = 3S + 1
...n
[somme 3*10^k ] + 1 = 33333...(n fois) + 1
...1
ouf !
n
S 10^k = 10 * (10^k -1) / (10-1) = (10/9) (10^k -1)
1
<=> (10^k -1) = S * (9/10)
<=> 10^k = S * (9/10) + 1
<=> 10 * 10^k = 10 (S * (9/10) + 1)
<=> 10^(k+1) = 9S + 10
or
3un = 10^n+1 - 7 <=> Un = (10^(k+1) - 7) / 3
donc
Un = (9S + 10 - 7) / 3
= (9S + 3) / 3 = 3S + 1
...n
[somme 3*10^k ] + 1 = 33333...(n fois) + 1
...1
ouf !
petite vérif
si n = 1 ---> somme = 10^1 = 10
si n = 2 ---> somme = 10^1 + 10^2 = 10 + 100 = 110
si n = 3 ---> somme = 10^1 + 10^2 + 10^3 = 10 + 100 + 1000 = 1110
pour n=3 , par exemple :
U3 = 3 * S + 1 = 3 * 1110 + 1 = 3330 + 1 = 3331
et si on calcule U3 avec Un = (10^(k+1) - 7) / 3
U3 = (10^4 - 7) / 3 = (10000 - 7) / 3 = 9993 / 3 = 3331 -- idem
si n = 1 ---> somme = 10^1 = 10
si n = 2 ---> somme = 10^1 + 10^2 = 10 + 100 = 110
si n = 3 ---> somme = 10^1 + 10^2 + 10^3 = 10 + 100 + 1000 = 1110
pour n=3 , par exemple :
U3 = 3 * S + 1 = 3 * 1110 + 1 = 3330 + 1 = 3331
et si on calcule U3 avec Un = (10^(k+1) - 7) / 3
U3 = (10^4 - 7) / 3 = (10000 - 7) / 3 = 9993 / 3 = 3331 -- idem
Oulala , tu ma perdu la ! :D
Bref, je vais essayer de tout relire et de tout comprendre ^^
Merci beaucoup
Bref, je vais essayer de tout relire et de tout comprendre ^^
Merci beaucoup
je viens de te trouver un lien qui sera plus clair :
http://chatel.maths.free.fr/PDF/TSSpe/TSSpeD61112C.pdf
bonne continuation !
http://chatel.maths.free.fr/PDF/TSSpe/TSSpeD61112C.pdf
bonne continuation !
t'es sur que c'est 333333 (n fois) +1? sa va se terminer par un 4 non? et non plus pas un 1
le + est en trop, tu as raison il prête à confusion.
en fait il signifie : "suivi" de 1
33333...(n fois) 1
en fait il signifie : "suivi" de 1
33333...(n fois) 1
Ils ont besoin d'aide !
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ok pour le début, mais pas pour la démo au rang n+1
hérédité :
Supposons vraie la proposition P(n) : 3un= 10^n+1 -7 , au rang n
Montrons que la proposition est vraie au rang (n+1), i.e.
P(n+1) : 3 U(n+1)= 10^(n+2) - 7
3 U(n+1)
= 3 * (10un + 21) --- déf . de Un
= 10 * 3Un + 63
= 10 * (10^(n+1) -7) + 63
= ... je te laisse finir ?
= 10^(n+2) - 7 ---- la propositions est vérifiée au rang n+1