DM de mathématiques sur les suites

Fiche de Révision

Voici quelques rappels concernant les suites :

• Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un ≤ un+1.
• Une suite (un)est décroissante si pour tout entier n, un ≥ un+1.
• Les suites croissantes et décroissantes sont dites monotones.
• Il existe également des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.
• Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1-un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare alors (un+1)/un et 1.

• Soit (un) une suite définie pas un = f(n), avec f définie sur [0;∞[. Si f est strictement croissante, alors (un) est strictement croissante. Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictement décroissante. 
• Ce théorème ne s'applique pas si la suite (un) est définie par récurrence (un+1 = f(un)). Les variations de la fonction f et de la suite (un) ne sont pas toujours les mêmes.

• Une suite (un) est périodique s'il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, un+k = un.

• Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un+r.
• r est appelé raison de la suite.
• Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = u0 + nr et un = up + (n-p)r.

• La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à n(n+1)/2.

• Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un. 
• q est appelé raison de la suite.
• Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = u0 qⁿ et un = up qⁿ⁻ᵖ