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Sujet du devoir
Bonjour,
voici le sujet
On considère la suite: (In) définie par In= l'intégrale de 0 à 1 de (e^(-t²)) / (1+t+n) dt pour tout entien naturel n.
On considère f et g 2 fonctions définies sur [0;1] par: f(x)=e^(-x) + x - 1 et g(x)=1-x + x²/2 -e^(-x).
a)Etudiez les variations et le signe de f.
b)Déduisez-en les variations puis le signe de g
c)Etablissez, pour tout x de [0;1]: 1- x inférieur ou égale à e^(-x) inférieur ou égale à 1-x+ x²/2
d)Déduisez-en un encadrement de e^(-t²) pour tout t de [0;1]
e)Etablissez l'encadrement: 2/(3(n+2)) inférieur ou égale à In inférieur ou égale à 23/(30(n+1)) pour tout n positif
f)Donnez, à partir de l'encadrement du e), une valeur de p telle que Ip inférieur ou égale à 10^(-2).
Où j'en suis dans mon devoir
Bon, j'ai été jusqu'à la question c). Après pour la d), j'avais l'idée de multiplier l'encadrement précèdent par e^(-x²+x) pour avoir e^(-x²) au milieu. Mais après, on ne peut s'en servir pour intégrer à la question e) car on ne peut pas trouver de primitive. Sinon, le f) est facile si l'on utilise l'encadrement précédent dont sur le f), je n'aurais pas besoin d'aide ^^
4 commentaires pour ce devoir
Je ne suis pas arrivé au résultat mais voici ma méthode pour résoudre ces intégrales.
Je pose n+1 = A , donc A ne dépends pas de t.
On a d’un coté (1–t²)/(t+A) = A – t + (1-A²) / (t+A)
Cette forme est intégrable.
Et de l’autre coté : (1–t² + t^4 /2) / (t+A) = [(1–t²)/(t+A)] + t^4 / [2*(t+A)]
On retrouve la précédente et t^4 / [2*(t+A)]
t^4 / [2*(t+A)] = (1/2) [ t^3 – At² + At – 1 + (A/(t+A))]
(1–t² + t^4 /2) / (t+A) = A – t + (1-A²) / (t+A) + (1/2) [ t^3 – At² + At – 1 + (A/(t+A))]
Je ne sais pas si avec, vous arriverez au résultat.
Faites signe, maintenant ce problème va me trotter dans la tête un moment.
Merci pour tout, j'ai réussi à trouver la réponse grâce à d'autres sources aussi. Il s'agit juste d'une histoire de majoration, minoration
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
c)
Je dois être fatigué mais je n'y arrive pas démontrez l’encadrement.
Est-ce que cela vous dérangerait de poster la démo pour cette question ?
d)
Pour cette question, un changement de variable : x = t².
Il faut simplement isoler e^x dans f (x)>0 et g (x)>0 . Bref maintenant je bloque au e), j obtiens des intégrales difficiles où je ne connais pas de primitive