DM de Maths: probabilités avec suites

Sujet du devoir

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La propabilité que la première cible soit atteinte est 1/2

Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit et 3/4. Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2/

On note:
-An l'événement "la n-ième cible est atteinte"
-An barre l'événement "la cible n'est pas atteinte"
-an la probabilité de l'événement An
-bn la probabilité de l'événement An barre

1. Donner a1 et b1, puis calculer a2 et b2 (on pourra utiliser un arbre pondéré)
2.Montrer que, pour tout n appartenant à N ,n>=1:
an+1= (3/4)an + (1/2) bn, puis an+1= (1/4)an+ (1/2).
3.Elaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite.
4a. MOntrer que la suite (Un) définie, pour tout n non nul, par Un= an-(2/3) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme U1
b. En déduire l'expression de Un en fonction de n, puis l'expression de an en fonction de n
c. Determiner la limite de la suite (an)
d. Determiner le plus petit entier naturel n tel que an>=0,6665

Où j'en suis dans mon devoir

CE QUE J'AI DEJA FAIT:
1. a1= 1/2
b1= 1-a1
=1-1/2
=1/2

A2 et A2 barre forment des partitions de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales:
a2=p(A1 inter A2)U p(A1 barre inter A2)
=a1*pA1(A2)+ b1* pA1barre(A2)
=1/2*3/4 + 1/2*1/2
=0,625

b2=1-p(A1)
=1-a1
=1-0,625
=0,375

2. p(An+1)=p(An inter An+1)U p(An barre inter An+1)
= an*pA1(An+1) + bn*pAn barre(An+1)
= 3/4 an + 1/2 bn

Je suis bloquée sur la 2° partie de la question 2 et n'ai pas encore essayé de faire la suite