DM de maths sur les suites

Sujet du devoir

Bonjour,

J'ai un DM de mahts à faire, avec 2 exercices. L'ennui, c'est que je bloque dès les premières questions donc je ne peux pas avancer !
Pourriez vous me donner un coup de pouce SVP ?

Exercice 1 :

Des relevés montrent que la population de truites d'une rivière diminue de 20% chaque année. En 202, le nombre de truites était estimé à seulement 200 truites par hectare. On décide d'introduire 200 truites chaque année, et on suppose que cela ce fait sans perte.
Problème : On veut étudier comment évolue la population de truites et s cet apport annuel permet d'enrayer la disparition de l'espèce et stabiliser la population.

1) Modéliser la population de truites par une suite (un) donnant la population initiale u0 en 2010 et une relation de récurrence exprimant un+1 en fonction de un, où un désigne la population de l'année 2010+n.
2) Les spécialistes estiment que la population de truites ne devrait pas dépasser 1000 truites par hectare à terme. Démontrer qu'ils ont raison.
3) Les mêmes experts pensent pourtant que la population de truites à l'hectare devrait croitre tous les ans. Ont-ils raison là aussi ?


Exercice 2 :

On considère la suite ( un) définie par u0=-2 et, pour tout nombre entier naturel n, un+1= 2/3 un-1

1) a) Écrire un algorithme qui calcule et affiche tous les termes de la suite (un) jusqu'au rang N, N étant chois par l'utilisateur.
b) Relever, dans un tableau, les résultats arrondis au centième pour N=10.
c) A l'aide de cet algorithme, proposer une conjecture pour la convergence éventuelle de la suite (un). relever des résultats qui justifient votre conjecture.

2) On introduit la suite (vn) définie par vn=un+3, pour tout entier naturel n.
a) Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme.
b) En déduire l'expression de un en fonction de n.
c) On admet que lim n -->=infini ( 2/3)^n =0. En déduire la limite de la suite (un).

3) On note Sn= u0+u1+...+un, pour tout entier naturel n.
a) Modifier l'algorithme pour faire calculer et afficher la somme SN, N étant choisi par l'utilisateur. Relever le résultat pour N=10.
b) Déterminer à l'aide de cet algorithme un entier N0 tel que SN0<-100.
Proposer une conjecture pur la convergence éventuelle de la suite ( Sn).
c) Exprimer Sn en fonction de n.
d) étudier la convergence de la suite des sommes ( Sn).



Voilà, ça fait beaucoup, mais déjà si je pouvais trouver les réponses pour quelques questions ça pourrait m'aider à avancer tout seul.
Merci d'avance !

Où j'en suis dans mon devoir

Je n'ai malheureusement rien trouvé pour l'instant, car je bloque dès les premières questions. Si vous m'aidiez à trouver les réponses à quelques questions, ça m'aiderait à avancer !