DM. Probablitié et variables aléatoires -Term S-

Sujet du devoir

Bonsoir, je travaille actuellement sur un DM de mathématiques. J'ai bien avancé, mais je bloque sur certaines questions. Je vous fais pars de mon problème dans le but d'obtenir une aide, une explication, et non des réponses. Je préfère comprendre !

Voici l'intitulé de mon exercice 1

Deux enfants disposent chacun d'une boîte contenant dix jetons de forme identique numérotés de 1 à 10. Au signal, chaque enfant prend au hasard un jeton dans sa boîte et le dépose sur une table. On note E l'évènement : " les deux jetons déposés portent le même numéro ".

1) Calculer la probabilité de E.

2) On répète 10 fois la même expérience ( après chq expérience, les jetons sont remis dans leur boîte) . Quelle est la probabilité pour qu'au moins une fois, les deux jetons déposés portent portent le même numéro . On pourra définir une variable aléatoire X et justifier que X suit une loi de probabilité connue.

3) On répète n fois la même expérience. Quelle est la plus petite valeur de n pour que l'on ait au moins 99% de chances de voir l'événement E se réaliser au moins une fois ? On pourra ici encore définir une variable aléatoire Y.

Exercice 2.

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

1) Soit R l'événement " le joueur obtient une boule rouge ".
Montrer que p(R) = 0,15.

2) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ? 

Le joueur répète 3 fois l'épreuve décrite précédement dans des conditions identiques et indépendantes.

Soit x un entier naturel non nul.
Lors de chacune des trois épreuves, le joueur gagne x euros s'il obtient une boule rouge et perds 2 euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges obtenues par le joueur.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique ( en euros ) du joueur au terme des 3 épreuves;

3) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. Préciser l'espérance, la variance, l'écart type de X.

4) Justifier que G=(x+2)X-6

En déduire l'espérance, la variance, et l'écart type de G en fonction du réel x

Pour quelles valeurs de x le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier

Merci de votre aide, par avance.

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1

1) P(E) = 1/20

2) X est variable aléatoire qui suit la loi binomiale B ( 10, 1/20 )

P(X>>1) = 1-P(X<1)

Je tape à la calculatrice, et j'obtiens , 0.086.

3) Pour cette question je bloque totalement .. Je ne comprends pas ...

Exercice 2

1) J'ai fais un arbre de probabilité. Je retrouve bien P(R)=0.15

2) J'ai trouvé .. Je trouve Pr(A) = 0.444 et Pr(B)=0.556. Donc la probabilité que la boule rouge provienne de l'urne A n'est pas supérieure à la probabilité qu'elle provienne de B.

3) C'est exactement ici que je bloque .. Les paramètres de la loi binomiale seraient B(3;...) Mais je ne sais pas quelle est la probabilité..

4) Je ne comprends pas comment justifier que G=(x+2)X-6 ... Donc, j'ai du mal à poursuivre ...