Estimation , Loi binomiale , normale

Sujet du devoir

Une société s'occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une première saisie est retournée pour vérification , au client correspondant.
Les résultats demandés seront données sous forme de valeurs décimales arrondies à 10^-3.

Partie A:
Pour chaque document , le délai de retour de la première saisie vers le client est fixé à deux semaines. On appelle p la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit effectivement retournée au client dans le délai fixé.
On désigne par X la variable aléatoire qui , à tout échantillon de n saisies choisies au hasard par tirage avec remise , associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas été respecté.

1) Pour estimer p , on a effectué une étude statistique. Sur 1250 saisies , 1122 ont été réalisées dans le délai imparti.
Proposer une estimation de p à l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de 95%.
Dans la suite de l'exercice , on prendra p =0.9.

2)a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X?
b) quel est le nombre de moyen de saisies pour lesquelles le délai de retour n'est pas respecté?
c) pour cette question , on suppose que n=20. Calculer la probabilité
p(X=2).
d) Quelle doit être la valeur de n pour que la probabilité qu'au moins une saisie ait été retournée hors délai soit supérieur à 0.5?

Partie B :
On désigne Y la variable aléatoire qui, à chaque saisie retournée et choisie au hasard par tirage avec remise, associe le nombre d'erreurs décelées dans cette saisie par le client correspondant. On admet que Y suit une loi normale de moyenne 30 et d'écart type 8.
1) calculer P(Y<35) , P(Y>25) et P(25 2) Donner une valeur approchée de P(22 3) L'entreprise veut signer une charte qualité qui stipule qu'elle garantit au client qu'au moins 99% des saisies comporte moins de n fautes. Déterminer le plus petit nombre entier n qui rende l'engagement de l'entreprise conforme aux données de la partie B.

Où j'en suis dans mon devoir

Voici ce que j'ai fais :

1) D'après la formule : Ic = [ f - (1/racine de n) ; f + (1/racine de n)
avec f la fréquence de l'échantillon et n la taille de l'échantillon. d'après l'énoncé :
n=1250 et f= 1122/1250 = 0.898
Donc :

Ic = [ 0.898 - (1/racine de 1250); 0.898 + (1/racine de 1250)]
= [0.870 ; 0.926 ]

2)a) La loi suivie par la variable X est la loi binomiale de paramètre n et p ,
Or ici X désigne le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'est pas respecté. Ainsi la probabilité associe au nombre de succès de X est bien la probabilité que le délai de retour ne soit pas respectée.
Cette probabilité (délai non respecté) est bien le contraire de p=0.9 ( délai respecté question 1)
Soit 1 - 0.9 = 0.1.
Donc X suit B(n ; 0.1)

b) On calcule ici l'espérance soit E(X)= n*p = 1250 * 0.1 = 125.
soit en moyenne 125 saisies pour lequelles le délai de retour n'a pas été respecté.

c) X suit B(20 ; 0.1)
On cherche p(X=2) donc p(X=2) = 2 parmis 20 * 0.1² * (1-0.9)^18
= 0.29.

Pour la d) je ne comprend pas la question.

Partie B :
Y suit N(30,8²)
1) p(Y<35)= p(-10^99 < Y < 35)= 0.735
p(Y>25)= 1- p(Y<25)
= 1- p(-10^99 = 0.734

p(25
2) p(22
3) Je ne comprend pas non plus

Pouvez-vous corriger mes erreurs si il y en a , et m'expliquer les deux questions où je bloque ? Merci d'avance !