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Sujet du devoir
Sujet:Une étude a permis de modéliser les quantités d'un produit (en milliers d'unités) mis sur le marché, par la fonction d'offre, g définie sur [1;22]par: g(p) =0.3p+1, p désignant le prix unitaire en euros.
La fonction de demande des consommateurs est modélisée par la fonction f définie sur [1;22] par: f(p)= -0.4p+5+ln(2p+6) représentant les quantités de produit ( en milliers d'unités) que les consommateurs sont prêts à acheter pour un prix unitaire p.
1* Montrer que la fonction g-f est une fonction strictement croissante sur [1;22].
2* En déduire qu'il existe sur l'intervalle [1;22] un unique prix d'équilibre p0.
Quelle est alors la quantité d'équilibre q0 ?
3* Tracer dans un même repère orthogonal (0.5 cm pour 1€ en abscisse et 1cm pour 1 millier d'unités en ordonnée) les représentations graphiques de f et g sur [1;22]. Retrouver graphiquement le prix et la quantité d'équilibre.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour le moment je bloque sur la question 1 lorsque je calcul g-f je trouve 0.7p-4-ln(2p+6)) et je ne vois pas comment cette fonction est strictement croissante sur [1;22]. merci de votre aide2 commentaires pour ce devoir
Merci beaucoup de ton aide, concernant le graphique je prend bien g(p) et f(p) pas les dérivées ? merci encore
Ils ont besoin d'aide !
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g(p)-f(p)=(0,3p+1)-[-0,4p+5+ln(2p+6)]
= 0,3p+1+0,4p-5-ln(2p+6)
= -ln(2p+6)+0,7p-4
g'(p)-f'(p)=-2/(2p+6)+0,7
= [-2+0,7(2p+6)]/(2p+6)
= (1,4p+2,2)/(2p+6)
Cette expression est strictement positive
donc
La fonction g-f est strictement croissante sur [1;22]
2)
Posons I=[1;22]
g-f est strictement croissante (monotone) sur I, est continue sur I et
g(1)-f(1)=-ln(8)+0,7-4 est négatif
g(22)-f(22) = -ln(50)+15,4-4 est positif
donc d'après le th. des valeurs intermédiaires, il existe un unique p0 appartenant à [1;22] tel que g(p0)-f(p0)=0
Donc q0=-0,4p0+5+ln(2p0+6)
3) fais le graphique
Yétimou.