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Sujet du devoir
Bonjour, voilà mon exercice :On considère la suite (Sn) définie par "quelque soit n qui appartient à N* Sn = 1+2+3+...+(2n-1)"
1°) Calculer S1, S2, S3, S4, S5, puis conjecturer la valeur de Sn en fonction de n.
2°) Démontrer la véracité de votre conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
3°) Démontrer la véracité de votre conjecture directement en travaillant sur l'expression de Sn.
Où j'en suis dans mon devoir
1°) J'ai calculer les premiers termes sans soucis (S1=1 ; S2=4 ; S3=9 ...) et j'en ai déduis que Sn = n²2°) Initialisation : S1 = 1 = 1²
Hérédités : j'ai eu quelques idées pour la récurrence mais je me retrouve presque avec 2 hypothèses de récurrence à savoir que si S(n+1) = S(n) + (2n-1) et que S(n) = n²
alors S(n+1) = n² + (2n-1)
et aussi S(n+1) = (n+1)²
donc (n+1)² = n² + (2n-1)
Mais je ne suis pas sur que cela tienne la route en tant que récurrence.
3°) Pour cette question, à part partir des mêmes supposion que la question précédante et faire presque du copier coller, je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance,
Jean.
12 commentaires pour ce devoir
Voici ma démarche :
S1 = (2*1-1) = 1
S2 = 1 + (2*2-1) = 4 soit S2 = S1 + (2*2-1) = 4
S3 = 1 + 3 + (2*3-1) = 9 soit S3 = S2 + (2*3-1) = 9
S4 = 1 + 3 + 5 + (2*4-1) = 16
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + (2*5-1) = 25
S1 = (2*1-1) = 1
S2 = 1 + (2*2-1) = 4 soit S2 = S1 + (2*2-1) = 4
S3 = 1 + 3 + (2*3-1) = 9 soit S3 = S2 + (2*3-1) = 9
S4 = 1 + 3 + 5 + (2*4-1) = 16
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + (2*5-1) = 25
Hérédités : j'ai eu quelques idées pour la récurrence mais je me retrouve presque avec 2 hypothèses de récurrence à savoir que si S(n+1) = S(n) + (2n-1) et que S(n) = n²
Je me suis trompé en recopiant, ce n'est pas S(n+1) = S(n) + (2n-1)
mais c'est S(n+1) = S(n) + (2[n+1]-1)
Je me suis trompé en recopiant, ce n'est pas S(n+1) = S(n) + (2n-1)
mais c'est S(n+1) = S(n) + (2[n+1]-1)
5
tu te trompes dans les calculs
S1 =1 oui
S2 dernier terme=2*2-1=3 ok mais alors S2=1+2+3
S3 dernier terme=2*3-1=5 donc S3=1+2+3+4+5
tu saisis ton erreur?
on ne peut donc pas écrire que S(n+1)=S(n)+(2n-1)
S1 =1 oui
S2 dernier terme=2*2-1=3 ok mais alors S2=1+2+3
S3 dernier terme=2*3-1=5 donc S3=1+2+3+4+5
tu saisis ton erreur?
on ne peut donc pas écrire que S(n+1)=S(n)+(2n-1)
Je me suis trompé dans l'ennoncer... Sn = 1+3+5+...+(2n-1)
Je suis désolé...
Je suis désolé...
ça change tout en effet et tes calculs sont bons
démonstration par récurrence que S(n)=n²
tu supposes que S (n)=n² est vrai et alors a-t-on S (n+1)=(n+1)² ?
S(n+1)=S(n) +2(n+1)-1
=n²+2n+1
=(n+1)² la proposition est aussi vérifiée au rang (n+1)
démonstration par récurrence que S(n)=n²
tu supposes que S (n)=n² est vrai et alors a-t-on S (n+1)=(n+1)² ?
S(n+1)=S(n) +2(n+1)-1
=n²+2n+1
=(n+1)² la proposition est aussi vérifiée au rang (n+1)
3. il faut retrouver le résultat à partir de l'expression de S(n)
c'est une démonstration connue
indice remarquer que
1er terme+dernier terme = 2ème terme+avant-dernier terme
=3ème terme + avant avant-dernier terme etc...
1+(2n-1) = 3+[2(n-1)-1]=5+[2(n-2)-1] ....
c'est une démonstration connue
indice remarquer que
1er terme+dernier terme = 2ème terme+avant-dernier terme
=3ème terme + avant avant-dernier terme etc...
1+(2n-1) = 3+[2(n-1)-1]=5+[2(n-2)-1] ....
Pour la récurrence, merci, j'ai compris, en fait je n'avais pas réussi à organiser mes idées...
3°) Il faut utiliser la somme des termes ? Je crois que cela fonctionne (d'après mon brouillon).
3°) Il faut utiliser la somme des termes ? Je crois que cela fonctionne (d'après mon brouillon).
oui et tu dois retrouver S(n) =n²
Je pense que c'est bon, j'ai pris la somme des nombres impaires jusqu'au rang n :
[n(1+(2n-1))]/2 = 2n²/2 = n²
[n(1+(2n-1))]/2 = 2n²/2 = n²
oui c'est ça
bonne soirée
bonne soirée
Merci, a vous aussi.
Et merci pour votre aide !
Et merci pour votre aide !
Ils ont besoin d'aide !
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