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Sujet du devoir
Bonjour ! Voici mon exercice :
Soit g la fonction définie sur R par g(x)= 2e^x -2x -4.
1/ a) Déterminer la limite de g en -∞.
b) En écrivant g(x) = 2x (e^ /x -1- 2/x) , déterminer la limite de g en +∞.
2/ Etudier les variations de g sur R et dresser le tableau de variation complet de g.
3/ Montrer que l'équation g(x)=0 admet 2 solutions A et B sur R et donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de chacun des nombres A et B.
4/ Déduire des questions précédentes le signe de g(x) sur R.
Où j'en suis dans mon devoir
Je ne sais pas vraiment comme m'y prendre pour la première question : c'est le premier exercice que l'on fait sur ce chapitre avec des exponentiels..
Pour la question 1 / a) , dois-je prendre uniquement le plus gros terme :lim 2e^x ?
Merci d'avance pour votre aide.
15 commentaires pour ce devoir
Dans l'expression de g c'est -2x, lim x tend vers -infini de -2x est +infini.
Donc lim x tend vers -infini g(x)=+infini
Effectivement , je n'avais pas fait attention au signe de 2x , merci beaucoup.
Pour la question 1/b) j'ai : lim e^x/x pour x tend vers +∞ = +∞ ; lim -2/x pour x tend vers +∞ =-∞ ; lim 2x pour x tend vers x tend vers +∞ = +∞.
Donc comme on a : g(x) = 2x (e^ /x -1- 2/x) , lim g(x) = -∞ ( a cause du +∞ * -1) ?
Pour les limites intermédiaires tout est bon sauf lim quand x tend vers +infini de 2/x est 0.
Donc ce qu'il y a dans la parenthèse tend vers +infini, et comme vous l'avez dit lim 2x quand x tend vers +infini est + infini, donc "+infini * +infini", donne +infini.
Donc lim g(x) quand x tend vers +infini est + infini
Ah oui d'accord , merci.
Pour la question 2 après avoir dérivé je vais faire une étude de signe pour pouvoir faire mon tableau de variation or , pour la dérivée... J'utilise U*V pour 2e^x. Et je sais que la dérivée de e^x est e^x. Or je fini par trouver : 0*e^x -0*1-0 ce qui me donne 0 , chose très bizarre..
J'ai pas bien compris comme vous calculez la dérivée, mais la dérivée de 2e^x est de la forme ku avec k=2 et u=e^x. On sait que (ku)'=ku', d'où la dérivée de 2e^x est elle-même.
Si on sait pas directement la dérivée de ku, on peut utiliser la formule de dérivation de la multiplication de deux fonctions.
(u.v)'=u'.v+v'.u
Ici u=2 et v=e^x, donc u'=0, et v'=e^x
d'où (2e^x)'=0*e^x+(e^x*2)=2e^x
On retrouve le résultat
Je ne comprend pas une chose , j'avais bien utiliser la forme k*u avec k=2 et u=e^x mais j'ai trouvé que k'=0 et u'=e^x ... Vous avez vous aussi trouvé 0 pour la dérivé ici : "u=2 et v=e^x, donc u'=0, et v'=e^x" ?
Oui tout à fait u'=0 et v'=e^x, mais la dérivée de (u.v), qui est (u.v)'=u'.v+v'.u, on remplace et
(2e^x)'=0*e^x+(e^x*2)=2e^x
Ah oui , je viens de comprendre mon erreur ! En remplaçant , à la place du deuxième e^x j'ai mi un 0. Merci beaucoup !
Pour mon tableau , j'ai le signe de g'(x) , variation de g'(x) ainsi que signe de g(x) et variation de g(x) , cela entre -∞ et +∞.
Ce n'est pas suffisent pour qu'il soit "complet" comme dit dans l’énoncé ?
2) Il faut utiliser la dérivée g', étudier son signe et faire le tableau de variations.
Ici g'=2e^x-2=2(e^x-1)
Résoudre g'=0, qui revient à e^x-1=0, donc e^x=1, ce qui donne x=0.
Le tableau est composé en borne de -infini, 0, +infini.
Etudier le signe de la dérivée g', puis en déduire les variations de g.
Pourquoi avons nous -2 pour g'=2e^x-2 ?
Pour mon tableau , j'ai trouvé pour le signe de g' :
• - entre -∞ et 0
• + entre 0 et +∞
Pour la variation j'ai donc trouvé : décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0;+∞[
2) g(x)=2e^x-2x, donc g'(x)=2e^x-2, la dérivée de -2x est -2.
Exact , merci , j'avais oublier d'écrire le -2x visiblement.
Ils ont besoin d'aide !
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1)a) On a lim quand x tend vers -infini e^x=0, donc la limite de g en -infini n'est pas une forme indéterminée et se déduit facilement
Tout d'abord , merci pour votre aide.
Donc lim 2e^x=0 , pour x tend vers -∞ et lim x=-∞ pour x tend vers -∞. (Et aussi lim 4=4 pour xtend vers -∞)
Donc lim g(x)= -∞ ?