Exercice dérivation et étude de fonctions

Sujet du devoir

Exercice 3
Une entreprise qui fabrique des vases fait une ´etude sur une production comprise entre 0 et 50 vases. Le
coˆut de production, en euros, de x objets fabriqu´es est donn´e par : C(x) = x
2 + 30x + 400 pour x ∈ [0; 50].
Partie A
1. Calculer C(0). En d´eduire les frais fixes de l’entreprise.
2. Quel est le coˆut de production de 20 vases ?
3. Quel est le coˆut de production par vase, lorsque l’entreprise fabrique 20 vases ?
Ce r´esultat est appel´e coˆut unitaire moyen pour 20 vases fabriqu´es.
4. Soit f(x) le coˆut unitaire moyen pour x vases fabriqu´es.
Exprimer f(x) en fonction de x pour x ∈ [0; 50].
Partie B
On donne la fonction f d´efinie par f(x) = x + 30 +
400
x
, pour x ∈ [0; 50].
f(x) est exprim´e en euros.
1. (a) Calculer f
′
(x).
(b) Montrer que f
′
(x) = (x − 20)(x + 20)
x2
.
2. (a) Etudier le signe de ´ f
′
(x) sur l’intervalle [0; 50] et en d´eduire le sens de variation de f sur l’intervalle
[0; 50].
(b) Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0; 50].
3. Reproduire et compl´eter le tableau suivant :
x 5 10 15 20 30 40 50
f(x) 71,7 73,3
4. Tracer la courbe repr´esentative C de la fonction f dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal d’unit´es
1 cm pour 5 vases en abscisses et 1 cm pour 5 euros en ordonn´ees, en commen¸cant la graduation `a 60.
Partie C
Dans cette partie, le nombre de vases fabriqu´es est compris entre 5 et 50.
1. Combien l’usine doit-elle fabriquer de vases pour que le coˆut unitaire moyen soit minimal ? Indiquer
ce coˆut.
2. Chaque vase est vendu 80 euros.
(a) Construire sur le graphique pr´ec´edent la droite ∆ d’´equation y = 80 et d´eterminer graphiquement
les coordonn´ees des points d’intersection de la courbe C et de la droite ∆.
(b) En d´eduire l’intervalle de production pour lequel l’entreprise r´ealise un b´en´efice.
3. (a) Exprimer en fonction de x le prix de vente V (x) r´ealis´e lorsque l’entreprise vend x vases.
(b) En utilisant la fonction coˆut C(x) ´etudi´ee dans la partie A, donner l’expression du b´en´efice B(x)
en fonction de x.
(c) Calculer B(10) et B(40), puis B(30). Ces r´esultats co¨ıncident-ils avec ceux du 2b ?

Où j'en suis dans mon devoir

partie a deja faite