- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
Bonjour membres de devoirs.fr :)
J'ai un exercice à faire combinant algorithme et fonction ln. (en pièce jointe)
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
Je bloque dès la première question qui est "calculer f1'(x), f2'(x) et f3'(x).
J'ai dit que f1(x) = x, f2(x) = (-1)^2-1 * x²/2 = -1*x²/2 et f3(x) = 1*(x^3)/3.
Et que (ln(1+x))' = 1/x donc f1'(x) = 1/x - 1, f2'(x) = 1/x - x²/2, et f3'(x) = 1/x - (x^3)/3.
Est-ce juste sil-vous-plaît ?
Merci d'avance pour votre aide :)
22 commentaires pour ce devoir
F2(x) = x - x²/2 ---- par définition mm de la fonction Fn(x), regarde mieux sur l'énoncé.
attention, Fn(x) est la somme de plusieurs termes : x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ...+ (-1)^(n-1)* x^n/n
ps : une question sur le fonctionnement du site : reçois-tu un mail qui t'avertit quand je te réponds ? merci :) --- je cherche à comprendre comment ça marche !
Ah oui merci beaucoup ! Donc f3(x) = x-x²/2 + x^3/3 = (6x - 3x² + 2x^3)/6 est-ce bien ça ? & donc f3'(x) = 1/(1+x) - (6x - 3x² + 2x^3)/6 ?
Alors non je ne reçois aucun mail qui m'en avertie :)
En tout cas, merci énormément de bien vouloir m'aider ! Passez une excellente soirée :)
fais bien attention à ne pas confondre la fonction f avec la fonction F
F3(x)=x-x²/2+x^3/3 ---- oui et sa dérivée est F3'(x) = 1 - 2x/2 + 3x²/3 = 1-x+x² tu comprends bien?
donc f3'(x) = 1/(1+x) - (1-x+x²) = mets sur déno commun (1+x) --- que trouves-tu ?
non je ne reçois aucun mail qui m'en avertisse --- ok merci :)
j'essaierai de passer demain, mais j'ai le repas de Noel à préparer ... donc plus certainement rdv après-demain ; mets bien le détail de tout ce que tu auras trouvé , ok ? bonne soirée à toi aussi :)
Je n'avais pas fait attention à l'écriture des deux fonctions, je comprends mieux maintenant !
Pour f3'(x) j'ai trouvé : 1/(1+x) -1+x-x² = 1/(1+x) - (1+x)/(1+x) + (x+x²)/(1+x) - (x²+x^3)/(1+x) = -x^3 / (1+x).
Ensuite pour la question 1.b, j'ai essayé de prouver comme vous avez dit de faire, que la suite est géométrique de raison (-x), mais en faisant (un+1)/un je ne trouve pas -x.. De même, je n'arrive pas à trouver la dérivée de Fn(x)..
Pour la question 1.c, la variation de fn dépend de n, quand il est pair fn'(x) est positif donc fn(x) est croissante alors que lorsque n est impair, fn'(x) est négatif et donc fn(x) est décroissante.
C'est d'accord, merci encore de prendre de votre temps libre pour m'aider, passez d'excellentes fêtes !! :)
f3'(x) = 1/(1+x) - 1+x-x² = -x^3 / (1+x) oui
1.b, j'ai essayé de prouver comme vous avez dit de faire, que la suite est géométrique de raison (-x) ---> on constate la suite de termes : 1 ; -x ; +x² ; -x^3 ; +x^4 ; -x^5 ; +x^6 etc.
on voit (évidence, pas besoin de démontrer) qu'il s'agit d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison -x
la somme des termes d'une telle suite est donnée par la formule :
S = 1er terme * (1 - raison^(nb de termes)) / (1 - raison) = .... qu'est-ce ça donne dans notre cas?
puis récapitule : fn '(x) = 1/(1+x) - S = ... réduis, tu dois retrouver l'énoncé.
1.c --- très bien !
D'accord, je pensais qu'il fallait le démontrer ! Pour la question 1.b, la somme des termes vaut donc : (1-(-x)^n)/(1- (-x)) = (1+x^n) / (1+x).. Mais je ne comprends pas pourquoi est-ce qu'il faut faire cela pour trouver fn'(x)..
Pour la 1.d, comment savoir si k est pair ou impair afin de trouver le signe de f2k-1 et f2k ?
Joyeux Noel ! :)
la somme des termes vaut donc : (1-(-x)^n)/(1- (-x)) = (1-(-x)^n) / (1+x) --- oui
.... = (1+x^n) / (1+x) --- ah que non ! car le signe de (-x)^n dépend de la parité de n
---
fn(x) = ln(1+x) - Fn(x) donc fn '(x) = (ln(1+x)) ' - Fn '(x) = 1/(1+x) - somme précédente
tu comprends ? mets tout ça sur déno commun
----
1.d ) ---> qq soit la parité de k, 2k sera toujours pair, et 2k-1 sera toujours impair.
ainsi 2k désigne à coup sûr un nb pair, et 2k-1 désigne un nombre impair.
je vais arrêter pour aujourd'hui, mais je reviens te voir demain; bonne soirée de Noël :)
Oui je comprends merci beaucoup, donc la somme des termes de cette suite vaut alors :
1/(1+x) - (1-(-x)^n) / (1+x) = (1-1+(x)^n) / (1+x) = (-x)^n/(1+x) :)
D'accord, pour la 1.d il suffit de dire que f2k-1(x) est forcément impair donc la fonction est décroissante, inversement pour f2k.
Pour la question 2.a, je voulais d'abord montrer que f2k-1(x) est supérieur à ln(1+x) en disant que ln(1+x) est strictement croissante et que ln x +1 est supérieur à 0 quand x supérieur à 1, alors que f2k-1(x) est toujours supérieur à 0.. Mais ça ne doit pas être ça..
Pour la question 2.b cela revient à : si k est pair : f3k(x) ≤ ln(1+x) ≤ f3k-1(x)
Si k est impair : f3k-1(x) ≤ ln(1+x) ≤ f3k(x)
Puis pour la partie B :
1. "affecter 3 à N, affecter X-1 à X" Est-ce celle-là ?
Dans cet algorithme on cherche l'encadrement de ln(x) entre deux valeurs de n pour la fonction Fn(x). Ainsi on commence avec F3(X-1).
Pour la question 2, j'ai dit que l'encadrement était de : T+(X^N)/N - X^(N+1)/(N+1) < ln(X) < T+(X^N+2)/(N+2) - X^(N+3)/(N+3)
Passez également de joyeuses fêtes ! :)
2a
f2k-1(x) la fonction est décroissante ET négative --- regarde sur le tableau de variation, les limites des bornes de l'intervalle d'étude (objet de la question 1d)
d'où ln(1+x) - F2k-1(x) <= 0 <=> ln(1+x) <= F2k-1(x)
et pour f2k : la fonction est croissante ET positive --> tu montres que F2k(x) <= ln(1+x)
d'où l'énoncé.
---
2.b oups, lendemain de fêtes difficile ? ^^
==> k = 3 ---- k est forcément impair :) ne confonds pas n et k
k=3 ----> 2k = 6 et 2k-1 = 5 tu reprends?
---
pour la partie B je veux bien essayer de t'aider, mais l'énoncé est vraiment flou; jusqu'à présent j'arrivais à le lire, mais là je ne vois pas clairement les détails : cela t'est possible de re-scanner ou numériser? merci.
C'est compris pour la 2.a ! :)
Pour la 2.b je me suis rendue compte de mon erreur juste après l'avoir posté.. :$
C'est donc : F6(x) ≤ ln(1+x) ≤ F5(x), faut-il s'arrêter là ou est-ce qu'il faut préciser que valent F6(x) et F5(x) ?
Oui bien sur je vais le scanner et je vais essayer de le poster, merci encore pour votre aide ! :)
==> de rien :)
F6(x) ≤ ln(1+x) ≤ F5(x), faut-il s'arrêter là ---- on ne peut pas calculer puisque l'on ne connait pas x, mais on peut écrire :
x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 ≤ ln(1+x) ≤ x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + x^5/5
j'attends ton scan.
Je l'ai scanné mais la partie haute est illisible, je le tape donc :
"Partie B. L'algorithme suivant affiche, pour X > 1, un encadrement de ln X d'amplitude inférieure ou égale à P.
Algorithme :
Demander X et P.
Affecter 3 à N; Affecter X-1 à X
Affecter X à S; Affecter X- (X²/X) à T
Tant que S-T>P Faire :
-> Affecter T+ (X^N/N) à S; Affecter S - (X^(n+1))/(N+1) à T
-> Augmenter N de 2
Fin tant que
Affiche l'encadrement ? < ln(X) < ?
Afficher N.
==> je regarde ça en détail et je te réponds si je sais faire.
J'ai remplacé l'ancienne photo par la nouvelle, où il y a seulement l'algorithme :)
ok, regarde ce que j'ai écrit tout à l'heure, pour le cas particulier de k=3 :
F6(x) ≤ ln(1+x) ≤ F5(x) <=> remarque le nb pair "à gauche" et impair "à droite"
x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 ≤ ln(1+x) ≤ x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + x^5/5
l'énoncé dit que P est l'amplitude de cet encadrement, c'est-à-dire que dans notre cas, P = F5(x) - F6(x) = x^6/6 (essaie de retrouver ce résultat) --> donc P est la précision que l'on souhaite pour ln(x), et cette information sera saisie par l'utilisateur de l'algo.
---
ligne 2 : N = 3 <--- on commence à hauteur de N=3 : les cas N = 1 et 2 sont traités en ligne n°3
pour X , valeur que l'on saisit, on lui enlève 1 ---> si je pose X = 1+x (changement de variable), alors X-1 = x (notre petit x de l'exo précédent ^^) ,
ligne 3 : à ce moment-là S = x puis T = x - (x²/2) <---- S et T deviennent respectivement les bornes supérieures et inférieures de l'encadrement (ici, N = 2, nb pair pour la borne inférieure, et N = 1 pour la borne sup)
ligne 4 : on compare l'amplitude S-T = x²/2 avec la valeur de P que l'on a saisie ---> si elle est supérieure, (donc si on n'a une précision pas assez fine) on continue,
sinon on affiche l'encadrement (avant dernière ligne) ==> à ton avis, quelles sont ces variables? -- et on affiche la valeur de N en cours
voilà, j'espère avoir "dégrossi" l'algo : je te laisse lire tout ça attentivement et cogiter sur l'intérieur de la boucle "tant que" ?
bonne soirée, et à demain :)
Cet algorithme était complexe.. Je pense avoir compris grâce à vous, je n'aurais rien fait si vous ne m'aviez pas aidé !
Donc pour l'encadrement de l'avant-dernière ligne c'est : S - X^(N+1)/(N+1) ≤ ln (X) ≤ T+X^N/N
Est-ce correct ? :)
Je ferais la dernière question demain, je vais dormir. Bonne soirée à vous aussi et merci encore !! :)
==> bonjour :) en effet, il n'est pas très facile
" S-X^(N+1)/(N+1) ≤ ln (X) ≤ T+X^N/N " non désolée, regarde mieux la ligne 3 : dans le cas où k=1 (i.e. où l'on encadre avec N = 1 et 2), on a x - x²/2 ≤ ln(1+x) ≤ x ----> compare avec ce que contiennent S et T ...
Bonjour Carita,
Merci pour votre réponse et surtout pour votre patience..
J'ai vraiment essayé de comprendre votre réponse, et j'en ai déduis cela :
S - T < ln (X) donc T + X^N/N - S + X^(N+1)/(N+1) < ln (X) mais je bloque pour pour ce qui 'est supérieur à ln (X), c'est P je crois mais nous n'en avons aucune valeur..
----
non, S-T représente l'amplitude de l'intervalle, c'est-à-dire borne supérieure - borne inf.
==> relis ce que j'ai écrit : " S et T deviennent respectivement les bornes supérieures et inférieures de l'encadrement" la réponse était là ;)
T < lnx < S
apparement tu n'as pas tout bien compris sur cet algo, essaie de le reprendre dans un petit moment, mais avant fais la question suivante, je pense que ça t'aidera à y voir plus clair (déroule l'algo pas à pas) --- je précise que si tu programmes sur ta calculette, je ne pourrais guère t'aider (je ne maitrise pas) mais si tu fais avec algobox, je connais.
Oui je reverrais ça demain car je n'ai pas très bien compris.. :$
D'accord, je vais le faire et je vous dis ce que j'obtiens ! :)
Voilà :)
Je n'ai fait que les deux premiers car je trouve des résultats incohérents..
N = 3, 1,1 - 1 = 0,1 = x.
S = 0,1 et T = 0,1 - 0,1²/2 = 0,095
S - T = 0,005 > P = 0,001
-> S = 0,095 + (1.1)^3/3 = 0.54, T = 0,54 - 1.1^(4)/+(4) = 0,174
Donc pour x = 1,1 :
Encadrement : 0,174 < ln (x) < 0,54
N = 3
ln (x) = 0.095
Puis pour x = 1,3 :
N = 5, 1,3 - 1 = 0,3 = x.
S = 0,3 et T = 0,3 - 0,3²/2 = 0.255
S - T = 0,045 > P = 0,001
-> S = 0,255 + (1.3)^5/5 = 1, T = 1 - 1.3^(6)/+(6) 0,174 = 0.195
Encadrement : 0,195 < ln (x) < 0,255
N = 5
ln (x) = 0,26
Le raisonnement est-il juste ?
Comment se fait-il que ln(x) ne soit pas compris dans l'intervalle ?
bonjour :) j'ai programmé sous algobox, et ça "marche", je corrige ce que tu as écrit :
N = 3 -----> et X = 0.1
S = 0,1 et T = 0,1 - 0,1²/2 = 0,095
S - T = 0,005 > P = 0,001 --- on est d'accord
S = 0,095 + (1.1)^3/3 = 0.54 ----> non, l'erreur est là : X = 0.1, et non pas 1.1 ! d'où S = 0.95333333 et T = S + (0.1)^4/4 = 0.09530833 --- et là, on est en phase avec la calculette :)
==> en fait N représente sur cet algorithme, la puissance IMPAIRE, donc utilisée à la borne supérieure : on a F(N+1)(x) < lnx < F(N)(x)
dis moi si tu as bien compris, et si tu peux terminer les autres.
----- attention ton devoir va se fermer automatiquement demain.
Bonsoir merci encore pour votre aide.
Desolé pour le temps de réponse j en avais pas accès à internet.
J ai réussi à terminer grâce à votre aide.
Merci encore.
Passer de belles fêtes.
Cordialement.
de rien :)
à la prochaine fois ... et bonne année 2104 ! :)
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
bonjour, je t'aide pour le début:
attention la dérivée de ln(1+x), c'est 1/(1+x)
pour n=1 , F1(x) = x --> f1(x) = ln(1+x) - F1(x) = ln(1+x) - x
d'où f1 ' (x) = 1/(1+x) - 1 = ... mets sur dénominateur commun (1+x)
----
pour n=2 , F2(x) = x - x²/2 --> f2(x) = ln(1+x) - (x - x²/2)
d'où f2 '(x) = 1/(1+x) - (1 - 2x/2) = 1/(1+x) - (1 - x) = ... mets sur dénominateur commun (1+x)
pour 1 b) travaille sur l'expression générale de F(x), et mets en évidence sur F ' une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison (-x) , puis applique la formule de la somme de p termes d'une suite géométrique.
Merci beaucoup pour votre réponse.
Je n'ai pas compris pourquoi F2(x) = x - x²/2 et non pas x²/2 si on prend comme fonction fn (x) = (-1)^n-1 * x^n/n.