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Sujet du devoir
Soit la suite (Un) définie sur IN par U0=2 et pour tout entier naturel n :
U(n+1)=(2/3)Un + (1/3)n +1
1. a- Calculer U1, U2, U3 et U4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10^(-2) près.
b- Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2.a- Démontrer que pour tout entier naturel n : Un<=n+3
b- Démontrer que pour tout entier naturel n : U(n+1)-Un= (1/3)(n+3-Un)
c- En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (Vn) la suite définie sur IN par Vn=Un -n
a- Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison (2/3).
b- En déduire que pour tout entier naturel n : Un=2*(2/3)^n + n
c- Déterminez la limite de la suite (Un).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
Sn= (somme de n jusqu'à k=0) Uk = U0 + U1 + ... + Un et Tn=(Sn)/n²
a- Exprimer Sn en fonction de n.
b- Déterminer la limite de la suite (Tn).
Où j'en suis dans mon devoir
1.a-
U1= (7/3) =2.33...
U2= (26/9) =2.88....9
U3= (97/27) =3.59...
U4= (356/81) = 4.40...
b- La suite (Un) semble croissante.
2.a-
Pn: "Un<=n+3" à démontrer pour tout n >=0
- initialisation pour n=0
P0 : "U0<=0+3"
or U0-2 donc P0 est vraie
- hérédité
On suppose que Pk est vraie pour un certain indice k>=0
c'est-à-dire Uk<=k+3
On doit montrer qu'alors P(k+1) est vraie aussi c'est-à-dire U(k+1)<=k+4
Or U(k+1)= (2/3)Uk + (1/3)k +1
et là je bloque complètement
2.b- et 2.c- c'est bon j'ai fait
et la 3.a- je ne sais pas comment commencer donc je n'ai pu faire le reste.
Fiche de Révision
En mathématiques, une suite désigne un ensemble d'éléments indexé par des entiers naturels. Ces éléments sont appelés des termes.
Une suite est finie lorsqu'un ensemble de termes est indexé par des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier. Cet entier en particulier est connu sous le nom de longueur de la suite.
Il existe aussi des suites infinies.
Il y a plusieurs types de suites :
- les suites arithmétiques
- les suites géométriques
- les suites aritmético-géométriques
On peut aussi calculer les limites de suites.
17 commentaires pour ce devoir
U(k+1)<=k+3+(1/3)k +1 donc U(k+1)<= (4/3)k+4 tu as oublié le 2/3
U(k+1)<=2/3(k+3)+(1/3)k +1 donc U(k+1)<= ............
U(k+1)<=(2/3)k +2 +(1/3)k +1
U(k+1)<= k+3
mais cela ne prouve pas ce que je dois prouver
U(k+1)<= k+3<=k+4
3- On désigne par (Vn) la suite définie sur IN par Vn=Un -n
a-Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison (2/3).
Calcule Vn+1/Vn et tu dois trouver 2/3.
V(n+1)/Vn= (U(n+1)-n))(Un - n)= ((2/3)Un-(2/3)n+1)/(Un - n)
mais après je fais comment ?
V(n+1)/Vn= (U(n+1)-n-1)/(Un - n)= ((2/3)Un+(1/3)n+1-n-1)/ (Un-n)=(2/3 Un-2/3 n)/(Un-n)=2/3
j'ai pas compris pourquoi vous avez (U(n+1)-n-1) alors que dans le sujet c'est Vn=U(n)-n
Vn=U(n)-n donc V(n+1)=U(n+1)-(n+1)
b- En déduire que pour tout entier naturel n:
Un=2*(2/3)^n + n
Vn= Un -n donc Un = Vn + n = Vo*(2/3)^n + n = 2*(2/3)^n + n
c- Déterminez la limite de la suite (Un).
La limite de (2/3)^n en + infini est 0 donc la limite de Un est ....
donc la limite de Un est +infini
donc la limite de Un est +infini OUI
Pour le 4) il faut utiliser les formules sur les sommes de termes d'une suite.
Bonne soirée.
merci beaucoup, bonne soirée à vous aussi
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U(k+1)= (2/3)Uk + (1/3)k +1 et Uk<=k+3 donc U(k+1)<= ........
U(k+1)<=k+3+(1/3)k +1 donc U(k+1)<= (4/3)k+4