Graphe probabiliste (Tale ES spé maths)

Sujet du devoir

Dans un pays imaginaire, à chaque élection, deux partis politiques X et Y s’affrontent. On constate que régulièrement, 30 % des électeurs ayant choisi X à une élection restent fidèles à X à l’élection suivante et 15 % de ceux qui ont choisi Y restent fidèles à Y, les autres
changent leur façon de voter et la population d’électeurs reste stable au cours des années.
Lors du vote de l'année 2006, on note X0 l'évènement "un électeur vote pour X" et Y0 l'évènement "un électeur vote pour X".
On pose a0 et b0 les probabilités de X0 et Y0.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, à la n-ième élection suivante, on note Xn l'évènement "un électeur vote pour X" et Yn l'évènement "un électeur vote pour Y".
On pose an et bn les probabilités de Xn et Yn.

1. Utilisation d'arbres de probabilité

a) À l'aide d'un arbre de probabilité, exprimer en fonction de a0 et b0 : a1 et b1; a2 et b2
b) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-contre (pas important) et vérifier que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
an+1=0.3an+0.85bn
bn+1=0.7an+0.15bn

2. Utilisation d'un graphe probabiliste

La situation est représentée ci contre par le graphe orienté et pondéré par les probabilités de passer d'un parti à l'autre, d'une élection à la suivante (pas important).
a) Calculer la somme des poids des arêtes issues de X, puis issues de Y. On traduit cette propriété en disant qu'il s'agit d'un graphe probabiliste.
b) Recopier et compléter le tableau ci contre.
X Y
X
Y
La matrice M ainsi obtenue est la matrice de transition de ce graphe probabiliste.
c) L'état probabiliste initial est donné par la matrice ligne P0=(a0 b0) et l'état probabiliste à la n-ième élection suivante (avec n sup ou = à 1) est donné par la matrice Pn=(an bn).
Vérifier avec les résultats de la partie 1. que :
P0 x M = P1
P1 x M = P2
Pn x M^n = Pn+1
d) En déduire que pour tout entier n sup ou = à 1, Pn = P0 x M^n

3. Application numérique et conjecture
a) Avec la calculatrice, déterminer M², M^5 et M^15.
b) Pour chacune des matrices P0 ci dessous, déterminer P2, P5 et P15 :
P0 = (0.4 0.6)
P0 = (0.1 0.9)
P0 = (0.7 0.3)
c) Conjecturer un état "limite" P = (x y) vers lequel semble converger la répartition de cet électorat.

4. Convergence de la suite (Pn)
a) On a établi que pour tout entier n sup ou = à 1, an+1 = 0.3an+0.85bn. En déduire que an+1 = -0.55an+0.85 en utilisant le fait que an+bn = 1.
b) On pose, pr tout entier n sup ou = à 1, un = an(-17/31)
Démontrer que la suite (Un) est géo de raison -0.55.
c) En déduire que la suite (an) converge vers 17/31. Quelle est la limite de la suite (bn)?
d) En déduire la matrice P vers laquelle converge la suite (Pn). Vérifier que P x M = P. On dit que P est l'état stable.
e) Conclure en donnant les prévisions des sondeurs quant à la répartition des suffrages dans ce pays à long terme.

Où j'en suis dans mon devoir

Je pense que c'est plus simple de dire ce qu'il me reste à faire :
1.b);2.c)d); les parties 3. et 4.

Je "sens" qu'il y a de la récurrence mais j'ai vraiment du mal à m'y retrouver !

Merci de votre aide précieuse !!!