Inéquation à résoudre

D'après le programme de Tle ES
->Résolution graphique de l'inéquation-2x² + 20x - 21 - 16lnx > 0

1) Etude du tableau de variation g(x)= -2x² + 20x - 21 - 16lnx
sur ]0;+OO[ (faire un tracé avec géogébra pour s'aider)
--> g'(x) puis signe de sa dérivé
--> limite en 0 et +OO
2) A partir du tableau de variation, préciser les solutions de l'équation g(x)=0 (X0; X1; X2)
En déduire les solutions de g(x)>0 (en terme d'intervalles)

fin de l'aide.

Bonjour Manie,

Il faut que tu fasses l'étude de la fonction numérique,

Dans le cas présent
f(x)= -2x² + 20x - 18 - 16lnx

Elle sera forcément définie sur [0, plus l'infini[

Ensuite il faut calculer la dérivée, ainsi que les limites aux bornes du domaine de définition

Ensuite tu traces la fonction et tu vas constater que

l'inéquation -2x² + 20x - 18 - 16lnx >0
sera vérifiera sur un intervalle bien déterminé, la courbe sera au dessus de l'axe des y dans le cas présent mais la résolution ne pourra être que graphique

Bonne journée

Bonjour Manie,

Il faut que tu fasses l'étude de la fonction numérique,

Dans le cas présent
f(x)= -2x² + 20x - 18 - 16lnx

Elle sera forcément définie sur [0, plus l'infini[

Ensuite il faut calculer la dérivée, ainsi que les limites aux bornes du domaine de définition

Ensuite tu traces la fonction et tu vas constater que

l'inéquation -2x² + 20x - 18 - 16lnx >0
sera vérifiera sur un intervalle bien déterminé, la courbe sera au dessus de l'axe des y dans le cas présent mais la résolution ne pourra être que graphique

Bonne journée

Attention melende!

f(x)>0 revient à voir quand la courbe sera au dessus de l'axe des x

Merci
Je voulais aussi ajouter:
on a f(x)= -4x + 20 - (16/x) et F(x) est la primitive de f(x). Avec les questions précédentes, on a le signe et les variations de f(x), je n'y avais pas mis au début mais maintenant je pense que ça peut être utile...

Rapidement:
-pour les variations: f croissante sur [1;2] et décroissante sur [2;6]
-pour le signe: f positive sur [1;4] et négative sur [4;6]

Ok!
Oublier g
Si F est une primitive de f, alors F'=f

Pour la résolution graphique, la méthode reste valable!

Etudier les variations de G(x)=F(x)-3 (et voir quand c positif)
sur ]0;+OO[ (faire un tracé avec géogébra pour s'aider)

En effet, résoudre F(x)>3 revient à résoudre F(x)-3>0 cad G(x)>0

--> G'(x)=F'(x)+0=f(x) puis signe de sa dérivé de G' cad f.
f(x)=[-4x²+20x-16]/x donc sur ]0;+OO[, f est du signe de -4x²+20x-16 (équation du second degré passer en mode delta)
( à priori vous avez trouvez ses racines 1 et 4)
Donc f positive effectivement sur[1;4] et négative sur]0;1[ et ]4;+OO[
Et donc G est croissante sur[1;4] et décroissante sur]0;1[ et ]4;+OO[
--> limite en 0 et +OO de G (A faire...)
En 0 c'est facile, en +OO, il faut mettre 4x² en facteur et utiliser le fait que lim(ln(x)/x²)=0
2) A partir du tableau de variation, préciser les solutions de l'équation g(x)=0 (X0; X1; X2)
c'est un peu délicat:théoreme des valeurs intermédiaire
*La fonction G est continue et décroissante sur ]0;1[ et passe d'une valeur positive à une valeur négative (d'après son tableau de variation)donc elle s'annule en une valeur X0
** Idem sur]0;1[........G s'annule en X1
***Par contre sur [1;4] G est continue et croissante et passe d'une valeur négative à une valeur positive .......G s'annule en X2
En déduire les solutions de G(x)>0 (en terme d'intervalles)

Pas évident, à relire attentivement!

Désolé pour la réponse tardive (décalage horaire).

fin.

Merci
Avec le signe de f(x) on a les variations de F(x) (croissante sur [1;4] avec F(1)=0 et F(4)=7,819 \ décroissante sur [4;6] avec F(6)=1,332) donc avec le théorème des valeurs intermédiaires on sait que F(x)=3 a deux solutions et que c'est entre ces deux solutions que F(x)>3. De là, pour avoir ces solutions, n'est-il pas possible de calculer Delta dans -2x² + 20x - 16lnx - 21 = 0 ?

Et petite rectification par rapport à ce que vous avez écrit : f(x) = -4x + 20 - (16/x) et pas f(x)=[-4x²+20x-16]/x (cela ne change pas les valeurs pour lesquelles f(x) change de signe)

Attention ne raisonne pas sur F(x) mais sur F(x)-3 qui est G(x)

En effet, G(1)=F(1)-3=-3 négatif
et G(4)=F(4)-3=27 positif
donc G étant continue s'annule sur ]1;4[ en X1

idem pour trouver X0 et X2 puis déduire que G est positive sur [X1;X2] et ]0;X0].

Remarques
*on ne peut utiliser delta (on a un terme en ln(x))
** en maths, -4x= (-4x)*(1)=(-4x)*(x/x)=-4x²/x
ça permet de mettre tout le monde au même dénominateur
f(x)=[-4x²+20x-16]/x c'est toujours f donc ça revient au même pour l'étude du signe.
de plus x>0 donc f est du signe de ce qui est en haut (numérateur)

fin

Oups pardon je n'avais pas fait attention au fait que tout avait été multiplié par x.

D'accord, merci

Finalement j'ai utilisé le tableau de variations de F et avec le théorème des valeurs intermédiaires on peut justifier qu'il y a une solution sur [1;4] pour F(x)=3 et pareil sur [4;6]. Puis avec la calculatrice on trouve ces deux résultats.