Légende de l'échéquier

Sujet du devoir

"Le Roi demande à l'inventeur du jeu d'échecs de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répond : "Place 2 grains de blé sur la 1ère case, 4 sur la deuxième, 8 sur la troisième, 16 sur la quatrième et ainsi de suite. Je prendrai tous les grains qui se trouvent sur l’échiquier." Le Roi sourit de la modestie de cette demande. En réalité, cette demande était-elle vraiment modeste ?"

1) a- Calculer u1, u2, u3, u4 et u5

b- Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier

c- Exprimer un en fonction de n et calculer u64

2) On note S le nombre total de grains sur l'échiquier. Ainsi S = 2 + 2² + 2^3 +...+2^64

a- Exprimer 2S puis 2S-S

b- En déduire S

3) sachant qu'un grain de blé pèse, en moyenne, 5x10^-2 gramme et qu'un mètre cube de blé pèse, en moyenne, une tonne, quelles pourraient être les dimensions d'un grenier qui contiendrait le blé gagné par l'inventeur ? Le Roi avait-il raison de sourire ?

Où j'en suis dans mon devoir

 Donc pour la question 1 :

a- Nous savons qu'il y a 2 grains de blé sur la 1ère case de l'échiquier donc :

   u1 = 2

u2 = 2x2^1 = 4

u3 = 2x2^2=8

u4 = 2x2^3=16

u5=2x2^4=32

b- (un) est une suite géométrique car elle est de la forme un=up*q^(n-p) avec up=u1=2 et q=2

c- un=2*2^(n-1)

u64= 2*2^(64-1)= (environ) 1,845x10^19

pour la question 2 :

a- 2S = 2(2+2^2+2^3+2^4+...+2^64) dont 2S=2²+2^3+2^4+...+2^65

2S-S = (2²+2^3+2^4+...+2^65)-(2+2²+...+2^64)

donc 2S=S+2^65 - 2

donc S=2^65-2

et la question 3 je n'y arrive pas

Merci de votre aide