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Sujet du devoir
bonjour, j'ai un exercice plutôt difficile à faire en spé maths et je ne parviens pas a les faire malgré avoir chercher longtemps.je vous serais très reconnaissant si vous pouviez m'aider ne serai-ce que sur une question.voici les questions:
les nombres premiers impairs peuvent se diviser en deux familles: ceux dont le reste dans la division euclidienne par 4 est 3 , et ceux dont le reste est 1.
supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k+3, que l'on note
p1,p2,...,pn
on construit alors le nombre N= 4p1*p2*...*pn-1
1) montrer que N est un entier impair supérieur a 2
2) montrer par l'absurde que N n'est divisible par aucun nombre premier de la liste p1,p2,...pn.
3) en déduire que tous les diviseurs premiers de N sont de la forme 4k+1
4) en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de N, déduire de la question 3) que N est de la forme 4k+1
5) montrer à l'aide de sa définition que N est de la forme 4k+1
6) en déduire une contradiction et conclure
merci d'avance .
Où j'en suis dans mon devoir
jai relu de nombreuses fois l'énoncé et les questions pour essayer de trouver des solutions mais rien de concluant5 commentaires pour ce devoir
en relisant l'exercice je suis encore plus tenté d'écrire N=2+ produit des pi de 1 à n
ceci ne change rien quant aux questions 1,2,3,4 mais est d'une importance primordiale concernant la 5 et donc la 6
5) on a N= 2+ produit des pi
pi = 3[4] ainsi pi= -1 [4] donc produit des pi = (-1)^n[4]
ainsi si n est paire : N= 3[4]
si n est impaire : N = 3[4]
ainsi dans tout les cas N est de la forme 4k+3 selon sa définition
[ L’énoncé est donc bien erroné)
6) N est bien congru à 3 modulo 4 ( par construction de N) or si on suppose que tout ces diviseurs premiers sont de la forme 4k+1 ceci impose que N soit congru à 1 modulo 4 ce qui est absurde, ainsi il existe forcément un diviseur de type 4k+3 ( vu que 2 est écarté d'avance ) or ce dernier n'appartient pas à la liste p1,...,pn. Ce qui est encore une fois absurde. ceci implique que notre hypothèse de départ est fausse.
Ainsi la liste des pi est infinie.
Conclusion : je pense que l'énoncé est érroné...
ceci ne change rien quant aux questions 1,2,3,4 mais est d'une importance primordiale concernant la 5 et donc la 6
5) on a N= 2+ produit des pi
pi = 3[4] ainsi pi= -1 [4] donc produit des pi = (-1)^n[4]
ainsi si n est paire : N= 3[4]
si n est impaire : N = 3[4]
ainsi dans tout les cas N est de la forme 4k+3 selon sa définition
[ L’énoncé est donc bien erroné)
6) N est bien congru à 3 modulo 4 ( par construction de N) or si on suppose que tout ces diviseurs premiers sont de la forme 4k+1 ceci impose que N soit congru à 1 modulo 4 ce qui est absurde, ainsi il existe forcément un diviseur de type 4k+3 ( vu que 2 est écarté d'avance ) or ce dernier n'appartient pas à la liste p1,...,pn. Ce qui est encore une fois absurde. ceci implique que notre hypothèse de départ est fausse.
Ainsi la liste des pi est infinie.
Conclusion : je pense que l'énoncé est érroné...
merci beaucoup pour cette aide précieuse, mais que voulez-vous dire par " produit des pi " ? car dans l'énoncé il est écrit que p désignent les nombres premiers de la forme 4k+3, de plus je souligne que dans l'énoncé N correspond au produit de 4 avec les p allant de 1 a n auquel on soustrait 1 , le -1 n'est pas très visible en effet et ne sachant pas si vous en avez tenu compte, je précise.
aah !! j'avais assimilé le -1 à p(n-1) !!
ah ben là ça change tout, l'exo est bien posé alors:
l'idée de la résolution reste la même sauf pour la 5ème question en effet N est de la forme 4k-1 ( qui est la meme que 4k+3 )
1) N>4p1-1 ; p1>2 car premier ainsi N>2, de plus 4*produit est paire et 1 impaire donc N est impaire
2)on procède par l'absurde, supposons qu'un pi>N alors pi/-1 car pi/4* produit des pi donc pi= +1 ou -1 absurde car pi premier
ainsi les pi ne divisent pas N
3)4)Même raisonnement que dans mon premier message !
5)N = 4*produit des pn -1 = -1 [4] donc N est de la forme 4k-1
ceci est équivalent à ce que N soit de la forme 4k+3
[ -1= 3[4] ]
6) Même réponse que dans mon message précédent!
ah ben là ça change tout, l'exo est bien posé alors:
l'idée de la résolution reste la même sauf pour la 5ème question en effet N est de la forme 4k-1 ( qui est la meme que 4k+3 )
1) N>4p1-1 ; p1>2 car premier ainsi N>2, de plus 4*produit est paire et 1 impaire donc N est impaire
2)on procède par l'absurde, supposons qu'un pi>N alors pi/-1 car pi/4* produit des pi donc pi= +1 ou -1 absurde car pi premier
ainsi les pi ne divisent pas N
3)4)Même raisonnement que dans mon premier message !
5)N = 4*produit des pn -1 = -1 [4] donc N est de la forme 4k-1
ceci est équivalent à ce que N soit de la forme 4k+3
[ -1= 3[4] ]
6) Même réponse que dans mon message précédent!
J'ai enfin compris ! Encore merci pour ces réponses très claires
Ils ont besoin d'aide !
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Je suis tenté par ecrire N = 4+ produit des pi allant de 1 à n
1) N est bien impair car Produit des pi est impaire et 4 paire
de plus N>4>2
2) supposons qu'il existe un pi tel que pi/N alors pi/4+produit or pi/ produit donc forcément pi/4 ainsi pi=1,2 ou 4
or 1 et 4 ne sont pas premiers, 2 premier paire et pi premier impaire d'où l'absurdité
3)N étant impaire 2 ne divise pas N, les seuls diviseurs premiers de N sont donc les premiers impairs, or les pi ne divisent pas N
donc les seuls diviseurs premiers possibles de N sont les 4k+1
4)notons qi les diviseurs premiers de N on a N= produit des qi^(alpha i ) avec alpha i entier>1
tout les qi sont congrus à 1 modulo 4 [démontré en 3 ]
ainsi leurs puissances le sont aussi,
donc N=produit qi^(alpha i) est congru à 1 modulo 4
ainsi N est de la forme 4k+1
Concernant la 5) et la 6) je n'en ai aucune idée pour l'instant