Les suites en terminale

Bonjour !

Pour la A tu pourrais commencer par te servir des "indices" que l'on te donne.
Tu étudies un terme qui s'écrit q^n avec q>1. Tu peux très bien dire que q=1+a avec a > 0.
Ensuite, en utilisant la minoration du début tu peux conclure par théorème de comparaison des limites.
Si tu ne comprends toujours pas ce point, dis le moi.

Pour la partie B :
Je ne comprends pas : 5^n peut s'écrire (1/5)^n ? Ces quantités ne sont pas du tout égales sauf pour n=0.
De plus, l'exercice te propose un raisonnement par récurrence donc tu dois tout d'abord appliquer une méthode claire et précise. L'astuce viendra plus tard.

Si tu as besoin d'un rappel ou de compléments sur le raisonnement par récurrence, je peux t'en faire.

Sinon, après avoir faire l'initialisation, tu dois démonter l'hérédité.
Tu dois donc montrer que Un+1 = 1 + (1/5)^(n+1)
Pour cela, tu te sers de l'expression de Un+1 donné par la définition de (Un) et de la relation Un=1+(1/5)^n admise dans l'hérédité.
(Si tu ne comprends pas tout cela, il faut que tu reviennes sur la méthode du raisonnement).

Pour la question 2a), il ne s'agit pas de trouver l'expression de Sn en fonction de n. On te demande le sens de variation d'une suite.
Pour étudier cela, tu as 2 méthodes :
comparer Sn+1 - Sn à 0 ou comparer Sn+1 / Sn à 1.
Ici comme Sn est définie à l'aide d'une somme, il est beaucoup plus logique d'étudier Sn+1 - Sn.
Le résultat vient tout seul.

Si tu as d'autres questions ou si tu n'as pas compris je peux reprendre les différents points abordés : la raisonnement par récurrence ou l'étude de variation des suites.
Bon courage.

Merci, pour la A j'ai terminé. Par contre pour la partie B quand tu dis que je dois démontrer que Un+1 = 1 + (1/5)^(n+1) ce n'est pas pluôt
Un+1= 1+ 12/5^n+1 ? Car sinon j'ai fais le raisonnement par récurrence ce qui me donne Uk+1= 1/5*(1+(12/5^k)+4/5
= 1/5 + (12/5^k+1) + 4/5
= 1 + 12/5^k+1
J'ai bien démontrer que la suite est héréditaire.

Pour la question 2)a. J'ai commencé à faire Sn+1-Sn, mais je ne comprend pas car mon prof m'a donné comme information que Sn+1-Sn=Un+1 , le problème c'est que je ne c'est pas comment arriver à ce résultat vu que Un+1= 1/5Un + 4/5.

Et puis la raison de cette suite est bien 1/5 non?

On parle de raison pour une suite arithmétique ou géométrique.
(Un) est ni arithmétique ni géométrique car tu ne peux pas écrire Un des façons suivantes :
Un+1 = r+Un ou Un+1 = q*Un

Peut être que tu confonds cette écriture récurrente avec l'écriture explicite de la suite :
Un = U0 + r*n ou Un+1 = U0*q^n

Dans tous les cas, le terme général de ta suite est Un+1 = (1/5) Un + 4/5
C'est une forme récurrente et elle ne correspond ni à une suite arithmétique ni à une suite géométrique.
Donc tu ne peux pas parler de raison car il n'en existe pas.

Alors je ne vois pas très bien sur quoi porte la puissance k dans tes calculs, je pensais que le 12/5 était une erreur de frappe. Mais en effet tu as bien :
1/5 * (1+ 12/(5)^k) +4/5 = 1 + 12 / (5)^k+1

Et là tu as montré que la propriété suivante : "Un = 1 + (1/5)^n pour tout n" est héréditaire.
Fais attention, monter qu'une suite est héréditaire ne veut rien dire.

Pour la question 2)a) tu n'as pas à te poser de questions :
Sn+1 est la somme U0+...+Un+1
Sn est la somme U0+...+Un

lorsque tu fais Sn+1-Sn, c'est évident qu'il te reste que Un+1 car tous les autres se compensent.
Tu n'as pas besoin d'écrire Un sous sa forme explicite.

Oui oui pour le raisonnement par récurrence j'ai bien fait l'initialisation l'hérédité et la conclusion.
Pour la question 2)a. Je beugue un peu car je me demandais si la suite (Sn) n'avait pas un lien avec la suite (Un), qu'avec Sn+1-Sn= Un+1 on trouve Un+1= 1/5Un + 4/5 ..

Je ne comprends pas bien ta question. Il y a effectivement un lien entre (Sn) et (Un) puisque Sn = U0+...+Un.

Maintenant on te demande le sens de variation de (Sn). Tu calcules Sn+1 - Sn qui fait Un+1 et tu étudies le signe de Un+1 pour répondre.

Ah. merci beaucoup