MATHS TLE ES LIMITES ET DERIVATION

Sujet du devoir

Une usine peut fabriquer chaque mois une quantité q d'un certain produit.
On suppose que toute la production est vendue.
Une étude a permis de modéliser le coût moyen de production par :
f(q) = 20q + 2000/q , ou q est exprimé en tonnes et f(q) en euros.

L'entreprise ne peut être bénéficiaire que si le prix de vente de la tonne est supérieur au coût moyen de production.
On a fixé le prix de vente en fonction de la quantité produite et vendue par :
g(q)= -5q + 600 , ou q est exprimé en tonnes et g(q) en euros.

1. Etude de la fonction coût moyen :
a) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+oo[.
b) Déterminer les limites de f en 0 et en +oo.
c) Montrer que la droite D d'équation y=20q est asymptote à la courbe c représentative de la fonction f. Etudier la position relative de c par rapport a D.
d) Construire D et c dans un même repère.

2. Seuil de rentabilité :
On note c' la représentation graphique de la fonction g.

a) Tracer c' dans le repère précédent, puis déterminer graphiquement l'intervalle dans lequel doit se situer la production q pour que l'entreprise soit bénéficiaire.

b) Retrouver le résultat précédent par le calcul.

Où j'en suis dans mon devoir

1.
a) On cherche la dérivée de f(q) = 20-2000/q².
On étudie le signe de la dérivée : 20-2000/q² = (20q²-2000)/q². Le dénominateur est toujours positif.
<=> 20q²-2000
= 20(q²-100)
= 20(q-10) (q+10)
Donc 20q²-2000 est un polynôme du second degré qui s’annule pour q²=100 donc pour q=10 et q=-10.
Ce polynôme est donc négatif entre les racines de 0 à 10, puis positif pour q>10.
On en déduit que la fonction est décroissante sur l’intervalle ]0 ;10] puis croissante sur l’intervalle [10 ;+oo[.

b) Si q tend vers 0, 20q tend vers 0 et 2000/q tend vers +oo.
Donc f(q) tend vers =+oo.
Si q tend vers +oo, 20q tend vers +oo et 2000/q tend vers 0.
Donc f(q) tend vers =+oo.

c) La droite D d’équation y=20q est asymptote oblique à la courbe c en +oo si et seulement si :
lim quand q tend vers +oo, [f(q)-(20q)]=0.
f(q) – (20q)= 20q+2000/q-20q= 2000/q.
et on sait que lim quand q tend vers +oo, (2000/q)=0.
Cqfd : donc D est bien asymptote à c en +oo.

Si f(q)-20q>0, on a f(q)>20q, donc la courbe associée à f est au dessus de la courbe associée à g.

d) ? Aucune idée.

2.
a) ? Aucune idée.

b) ? Aucune idée.