Messages codés par chiffrement affine.

Sujet du devoir

BONJOUR
Messages codés par chiffrement affine.
Pour coder une message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres
de l'alphabet est associé un nombre entier donné dans le tableau ci-dessous:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Soient a et b deux entiers naturels donnés, à tout entier naturel n de la liste précédente
on associe le reste de la division euclidienne de an+b par 26, ce reste est alors associé
à la lettre correspondante.
Exemple : soit a= 2 et b= 3. Pour coder la lettre P, n=15, et 2×15+3=33= 26+ 7
or 7 est associé à H. Ainsi la lettre P est codée par la lettre H.
Dans la suite on prend a=7 et b=4
A. Codage :
Coder votre nom grâce au chiffrement affine décrit précédemment.
B. Décodage
1. On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers n et p.
Démontrer que si an+b et ap+b ont le même reste dans la division euclidienne par
26 alors n− p est un multiple de 26. En déduire qu'alors n= p .
Comment interpréter cette propriété en terme de codage de message?
2. a. Démontrer que décoder la lettre associée au nombre 2+b revient à déterminer
l'entier naturel n compris entre 0 et 25 tel que an− 26k =2 où k est un entier relatif.
b. Donner une solution particulière de l'équation diophantienne :
ax−26y= 2 (E)
c. Résoudre l'équation diophantienne (E)
d. En déduire qu'il existe un unique couple d'entier relatifs (x;y) solution de l'équation
diophantienne (E) avec x ∈[0 ;25].
e. Décoder la lettre associée au nombre 2+b.
3. a. Déterminer une valeur de c∈ ℤ telle que ca+26k =1
b. En déduire que si an+b ≡ r (26) alors n≡cr−cb (26)
c. A l'aide de cette relation, décoder le message :LGXYOH

Où j'en suis dans mon devoir

1° si 26 divise 7n+4 et que 26 divise 7p+4 alors 26 divise 7n+4-(7p+4) et donc 26 divise 7(n-p) et comme 7 ET 26 sont premiers entre eux 26divise n-p
mais ensuite on demande d'en déduire que n=p et d' interpreter cette proprieté en terme de codage je ne vois pas comment faire

2°a) si 26|7n+b et26|2+b alors 26|7n-2 et 7n-2 =26k dc 7n-26K=2
b) donner une solution particulière de l’équation (E) : 7x-26y=2

j ai d'abord chercher une solution pour 7x-26y=1 (E')
Je trouve x=-11- 26K et y=-3-7K
puis je multiplie E' par 2 j'obtient 7(-22)-26(-6)= 2 C'est la solution particulière de E
c) resoudre E
2*7(-11-26K)-2*26(-3-7K)=2 donc S={(-22-52k ; -6-14K)}

Mais ne sais pas si c 'est bon
à partir de la question d je n y arrive plus