Nombres complexes

Sujet du devoir

Partie A-ROC
On rappele le prérequis suivant: dans un repère orthonormé deux vecteurs t et t' de coordonnées respectives (x; y) et (x';y') sont orthogonaux si, et seulement si:
xx+yy'= 0.

1) Démontrer la propriété: " deux vecteurs t et t' d'affixe respective z et z' sont orthogonaux si et seulement si z fois z' barre appartient à iR "

2) En déduire que si N a pour affixe z et N' a pour affixe iz, alors le triangle ONN' est isocèle rectangle en O. On admet dans ce cas que le triangle ONN' est direct, c'est-à-dire que:
(vecteurON,vecteur ON')= +pi/2( 2pi).

Partie B
1)a) Déterminer le nombre complexe alpha tel que : alpha(1+i)=1+3i.
b) Vérifier que i alpha ²= -4+3i.
2) Pour tout nombre complexe z, on pose : f(z)= z²-(1+3i)z+(-4+3i).
a) Montrer que f(z) s'écrit sous la forme (z-alpha)(z-i alpha).
b)En déduire les solutions dans C, sous forme algébrique, de l'équation f(z)= 0.

Partie C
1) On considère les points A et B d'affixes respectives a=2+i et b=-1+2i . Placer A et B dans le repère et compléter au fur et à mesure. L'unité graphique est 3cm. Démontrer que le triangle 0AB est isocèle rectangle.
2) On considère le point C d'affixes c=-3+2i. Déterminer l'affixe d du point D tel que le triangle OCD soit isocèle rectangle direct en O.
3) On apelle M le milieu du segment [BC].
a)Déterminer les affixes des vecteurs OM et DA.
b)Démontrer que les droites (OM) et (DA) sont perpendiculaires.
c)Etablir que OM= 1/2 DA.
4) On appelle J,K et L les milieux respectifs des segments [CD],[DA] et [AB]. a)Démontrer que le quadrilatère JKLM est un parralélogramme .
b)En utilisant la Partie A démontrer que JKLM est un carré.

Où j'en suis dans mon devoir

Partie A:
1) Vecteur T (z= x+iy) et T'( z'barre= x-iy)
J'ai multiplié z par z'barre et je trouve:
zz'barre=xx'-xiy'+iyx'+yy'= (xx'+yy')(x'y-xy')i

D'après le prérequis, t et t' sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'=0 donc si et seulement si zz'barre= (x'y-xy')i

2)Je n'y arrive pas !

Cordialement,