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Sujet du devoir
Bonjour,
Je demande de l'aide pour un exercice dont quelques questions me posent problème. C'est la suite de : http://devoirs.digischool.fr/terminale/mathematiques/nombres-complexes-forme-algebrique-et-module-258360.html
Après la question où il faut mettre 1+i sous forme trigonométrique et exponentielle, il faut en déduire les valeurs exactes de cos(pi/8) et sin(pi/8). Je ne sais pas comment procéder.
Merci d'avance !
Où j'en suis dans mon devoir
Pour ma forme trigonométrique je trouve : racine de 2 (cos (pi/4) + i sin (pi/4)
Pour la forme exponentielle je trouve : racine de 2 e^i(pi/4)
Mais je ne sais pas comment déduire les valeurs exactes de cos pi/8 et sin pi/8 à partir de ces deux formes
J'attends votre aide !
9 commentaires pour ce devoir
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Bonjour,
Effectivement 1+i = V(2)*(cos(pi/4) + i sin(pi/4))
Vous connaissez alors la valeur exacte de cos(pi/4) et sin(pi/4)
Quelle est-elle ?
Apres il faut voir que pi/4 = (pi/8) + (pi/8), êtes vous d’accord ?
Il existe une formule qui lie le cosinus d’un angle au cosinus du double de l’angle.
Quelle est-elle ?
cos (2a) = …. ???
Sinon quelle est la formule de la somme de deux angles ?
cos ( a+b) = ??????
et si a=b cela donne quoi ?
Bonsoir,
Merci pour votre réponse !
pour la valeur exacte de cos (pi/4) et sin(pi/4) je trouve racine de 2/2
après pour la suite de votre raisonnement je ne comprends pas : comment montrer que pi/4=pi/8=pi/8 ?
J'attends votre réponse
Il ne faut pas montrer que pi/4 = pi/8 = pi/8.
pi/4 = pi/8 + pi/8 ou pi/4 = 2 * pi/8.
Il faut juste connaître les formules trigo cos(a+b) ou cos(2a)
=> Cos (2*a) = 2 * cos(a)² -1
Donc cos(pi/4) = 2 * cos(pi/8)² - 1
En transformant la formule on arrive à trouver la valeur exacte de cos(pi/8).
Ensuite pour le sin(pi/8), il est possible d’utiliser cos²+sin²=1
ou d’utiliser la formule cos(2a)= 1 -2 * sin(a)²
Veuillez m'excuser mais je ne comprends pas comment peut-on trouver la valeur exacte grâce à cette formule
Je vous remercie quand même
Avez-vous essayé de modifier l’expression : cos(pi/4) = 2 * cos(pi/8)² - 1
cos(pi/4) = V(2) / 2
donc V(2) / 2 = 2 * cos(pi/8)² -1
2 * cos (pi/8)² = (V(2) + 2 ) / 2
Cos(pi/8)² = (V(2) + 2 ) / 4
Cos (pi/8) = V[(V(2) + 2 ) / 4]
Cos(pi/8) = V(V(2) + 2 ) / 2
Je vous laisse trouver sin(pi/8)
Merci beaucoup, j'ai compris cette méthode. Je ne sais pas si c'est celle attendue mais je vous remercie !
Par contre je suis bloquée pour le calcule de sin pi/8 je trouve avec la formule sincarré+coscarré =1 : V((V(2)+6)/4)
Aie !! erreur de signe quelque part.
Cos² = (V(2) + 2) / 4
sin² = 1 – cos² = 1 – (V(2) + 2) /4 = (4 - V(2) -2 ) /4 = (2 – V(2)) /4
sin(pi/8) = V(2-V(2)) /2
Pensez à vérifier la valeur à la calculatrice.
Exercez vous à cette méthode, ce genre de problème tombe souvent avec pi/12.
Il faut connaître les valeurs exactes pour les angles pi/4, pi/3 et pi/6.
Finalement avec la formule : cos(pi/8)=1-2*sin(pi/4) j'obtiens : -V((V2)+2)/2 mais je crois avoir un problème avec le signe -
Attention, la formule est cos(2a)= 1 -2 * sin(a)²
Donc cos(pi/4) = 1 - 2 * sin(pi/8)²
Donc V(2)/2 = 1 – 2 * sin(pi/8)²
2 * sin(pi/8)² = 1 – V(2) /2 = (2 – V(2)) /2
sin(pi/8)² = (2 – V(2)) /4
sin(pi/8) = V(2-V(2)) / 2
Si vous partez du mauvais depart, l'arrivée est difficile à trouver.
Un conseil: refaite cet exercice sans les solutions que je vous ai apporté.
Il faut maitriser ces modifications de formule.