Problème avec un raisonnement par récurrence

Sujet du devoir

On considère la suite numérique (Vn) définie pour tout entier naturel n par: V0=1 et V(n+1)=9/(6-Vn).

On sait que tout tout entier naturel n, 0<Vn<3. On sait aussi que V(n+1) - Vn = ((3-Vn)²)/(6-Vn).

On considère la suite Wn définie pour tout n entier naturel par:

Wn= 1/(Vn -3)

on doit démontrer par récurrence que Wn=(-2n-3)/6

Où j'en suis dans mon devoir

donc j'ai commencé ma récurrence:

Pn: "Wn=(-2n-3)/6" à demontrer pour tout n entier naturel

Initialisation pour n=0

P0: "W0=(-2*0-3)/6)"

or W0=(-1/2) donc P0 est vraie

Hérédité

on suppose que Pk est vraie pour un certain indice k >=0 càd Wk=(-2k-3)/6

on doit montrer qu'alors P(k+1) est vraie aussi càd W(k+1)= (-2k-5)/6

Or W(k+1)= 1/(V(k+1)-3)

=1/((9/(6-Vk))-3)  

=(6-Vn)/(3*vn-9)                                

      On sait exprimer Vk en Fonction de Wk,on a Vk= (1/Wk)+3, on remplace dans la formule

= (6-((1/Wk)+3)/(3*((1/Wk)+3)-9)

=((-3Wk)/Wk)/(3/Wk)

= (-3(Wk)²)/(3*Wk)

on connait Wk d'après l'hypothèse de récurrence donc on le remplace dans la formule

=(-3*((-2k-3)/6)²)/(3*((-2k-3)/6))

Et à partir de là je ne sais pas comment faire j'ai essayer et réessayer cinq ou six fois et à chaque fois je trouve des résultats différents, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil