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Sujet du devoir
Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice de maths suivant :Une affirmation est proposée . Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse
Le plan complexe est ramené à un repère orthonormal direct (O;u;v)
Soient A,B,C trois points d’affixes respectives a,b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas aplati.
Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les complexes (z-b)/(c-a) et (z-c)/(b-a) sont des imaginaires purs
Affirmation: M est l'orthocentre du triangle ABC.
Où j'en suis dans mon devoir
Je ne vois pas du tout comment faire si ce n'est que les 2 rapports sont imaginaires purs sii et seulement si le réelle du rapprot = 0 ou que l'argument du rapport est égale ç pi/2 + 2kpi.Merci de votre aide
4 commentaires pour ce devoir
Je regarde le probleme un peu plus en detail pour te donner d'autre pistes
Ma demonstration serait la suivante
Dans un plan orthonormal (O,u,v) avec A,B,C les trois points d'affixe a,b,c et M d'affixe z
Si M est l'orthocentre du triangle ABC alors par definition la droite (MB) et la droite (AC) sont perpendiculaire.
donc l'angle entre les vecteur MB et AC est Pi/2
donc
( vectMB, vectAC ) = arg ( (z-b)/(c-a) ) or par hypotese
(z-b)/(c-a) est un imaginaire pur
on en deduit que M appartient donc a la hauteur en B du triangle ABC
Tu demontres ensuite la meme chose pour (z-c) / (b-a)
Note: J ai peut etre pris le probleme a l'envers. Mais l'astuce est la
Dans un plan orthonormal (O,u,v) avec A,B,C les trois points d'affixe a,b,c et M d'affixe z
Si M est l'orthocentre du triangle ABC alors par definition la droite (MB) et la droite (AC) sont perpendiculaire.
donc l'angle entre les vecteur MB et AC est Pi/2
donc
( vectMB, vectAC ) = arg ( (z-b)/(c-a) ) or par hypotese
(z-b)/(c-a) est un imaginaire pur
on en deduit que M appartient donc a la hauteur en B du triangle ABC
Tu demontres ensuite la meme chose pour (z-c) / (b-a)
Note: J ai peut etre pris le probleme a l'envers. Mais l'astuce est la
Bonsoir , je vois beaucoup mieux maintenant ! Merci de votre aide !
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Il ne faut pas que tu utilises l'enoncé en utilisant les propriétés de l'argument et de la partie imaginaire, Mais plutot que tu utilises les complexes avec leurs conjugués.
le fameux Z et Zbarre
et utiliser les propriétes du Conjugué d'une somme, d'un produit.
Et la distance |Z|² = Z . Zbarre