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Sujet du devoir
Bonjour!J'ai un exercice corrigé de récurrence et il y a une ligne de calcul que j'ai du mal à comprendre. J'espère que vous m'aiderez!
Énoncé
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, (8^n)-1 est un multiple de 7.
Où j'en suis dans mon devoir
CorrigéInitialisation
P0 est vrai car P=0 et 0 est un multiple de 7.
Hérédité
Soit n un entier naturel quelconque fixé. Supposons que Pn est vraie/ Il existe donc un entier k tel que 8^n-1=7k.On a (8^n+1)-1
=8*8^n-1
=8(7k+1)-1 => C'est à partir de cette ligne que je ne comprends plus le calcul , d'ou sort le 7?
=7(8k+1)
Or 8+1 est un entier, donc (8^n+1)-1 est un multiple de 7.
Pn+1 est vrai.
3 commentaires pour ce devoir
Bonjour Carita! :)
Je pense avoir comprit merci beaucoup pour ton aide :)
Je pense avoir comprit merci beaucoup pour ton aide :)
de rien :)
bon dimanche !
bon dimanche !
Ils ont besoin d'aide !
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tiens bien compte, dans la partie hérédité, de l'hypothèse posée.
hypothèse :
"Supposons que Pn est vraie :
Il existe donc un entier k tel que 8^n-1 = 7k"
---> on suppose au départ que Pn est vrai: on va donc s'en servir !
Pn, c'est la proposition : 8^n-1 = 7k
or ceci est équivalent à 8^n = 7k + 1
---
On a :
(8^n+1) - 1
= 8 * 8^n - 1
= 8*(7k+1) - 1 <--- on remplace 8^n par 7k + 1
tu comprends ?