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Sujet du devoir
résoudre dans R l'équation suivante : E(x²)=E(x)²tel que E(x) représente la partie entière de x et x appartient à N
Où j'en suis dans mon devoir
on a: E(x²) ≤ x² ≤ E(x)²+1donc: E(x)² ≤ x² ≤E(x)²+1
posons n=E(x) tel que n appartient à N
donc: n² ≤ x² ≤ n²+1
S= [n²,n²+1[ ?????????????????????????????
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X = a + b avec a comme partie entière et b comme partie décimale
X² = (a + b)² = a² + 2ab + b²
E (X²) = E (a²) + E (2ab + b²)
<=>
E (X²) = a² + E (2ab + b²)
De plus, E (X) = a
Donc, [ E (X) ]² = a²
Résolvons l'équation : E (X²) = [ E (X) ]²
a² + E (2ab + b²) = a²
<=>
E (2ab + b²) = 0
<=>
2ab + b² < 1
A partir de là, on ajoute aux deux membres de l'inégalité la valeur a² afin de former à gauche un carré parfait.
a² + 2ab + b² < 1 + a²
(a + b)² < 1 + a²
a + b < racine (1 + a²)
b < racine (1 + a²) - a
Conclusion :
X = a + b
Pour que E (X²) soit égale à [ E (X) ]², il faut que :
0 < b < racine (1 + a²) - a
Et comme X = a + b, on aura :
0 + a < a + b < racine (1 + a²) - a + a
<=>
a < X < racine (1 + a²) <=== solution générale
Par exemple, si la partie entière d'un nombre est 7, alors pour que l'égalité E (X²) = [ E (x) ]² soit respectée, il faudra que
7 < X < racine (1 + 7²)
<=>
7 < X < racine (50)
A noter que si a < X < racine (1 + a²)
alors, en raisonnant avec les carrés, on obtient l'inégalité :
a² < X² < a² + 1