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Sujet du devoir
Bonsoir , mon professeur nous a demandé de faire un exercice sur l'étude de la suite sin n dont voici l'enoncé :1. Justifier que pour tout n de N , a.) sin (n+1) = sin1cosn + sinncos1 et b.) sin (n+1) - sin (n-1)= 2 sin 1 cos n.
2. On pose pour tout n de N, Un= sin n et Vn= cos n. On suppose désormais que (Un) a une limite finie l.
A. De la relation établie en 2.b en déduire que Vn converge et préciser sa limite.
B. De la relation établie en 2.a déduire alors que l=0.
C. En considérant Un^2 + Vn^2, montrer que l^2=1.
D. Qu'en déduit-on ?
3. Montrer que la suite sin n n'a pas de limite finie ou infinie. Et la suite cos n ?
Où j'en suis dans mon devoir
Pour la premiere question il est assez facile de le démontrer avec les formules d'addition, cependant dès la 2 je ne comprend quel raisonnement suivre , quelqu'un pourrait-il m'aider ?6 commentaires pour ce devoir
Merci pour votre réponse , je suis parvenue a faire toutes les questions jusqu'à la D, j'ai dit que l'on en déduisait que Un n'avait pas de limite finie ou infinie . Par contre je ne comprend pas comment le professeur veut que l'on montre la dernière question .
D) Un n'a pas de limite finie, c'est en 3) qu'il faut montrer qu'il a pas de limite infinie aussi.
3) utilises le fait que -1 =< Un =< 1
Pour Cosn:
supposons que cosn admet une limite L.
on a -1 < cos n < 1 donc par passage à la limite -1 < L < 1
on a sin n = racine(1-cos²n)
donc par passage à la limite sin n admet racine(1-L²) comme limite finie ( car racine(1-L²) existe est finie d'après la relation -1
Absurde.
donc cosn n'a pas de limite finie ( ni infinie )
3) utilises le fait que -1 =< Un =< 1
Pour Cosn:
supposons que cosn admet une limite L.
on a -1 < cos n < 1 donc par passage à la limite -1 < L < 1
on a sin n = racine(1-cos²n)
donc par passage à la limite sin n admet racine(1-L²) comme limite finie ( car racine(1-L²) existe est finie d'après la relation -1
Absurde.
donc cosn n'a pas de limite finie ( ni infinie )
D'accord merci beaucoup ! J'ai ap
* pardon pour le message
J'ai appliqué la même méthode pour sinus et j'ai compris l'exercice. Merci et bonne soirée.
J'ai appliqué la même méthode pour sinus et j'ai compris l'exercice. Merci et bonne soirée.
Bien, bonne soirée :)
Ils ont besoin d'aide !
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A) de la relation 2.b on a U(n+1) -U(n-1) = 2sin(1)*Vn
tu fais un passage à la limite en remplaçant limit de Un par l, tu en déduis la limite de Vn, ( 2sin(1) et une constante)
B) la relation 2.a <==> U(n+1) = sin(1)*Vn + cos(1)*Un
encore un passage à la limite dans les deux membres et résous l'équation obtenue en l.
C) Un^2 + Vn^2 = 1 encore un passage à la limite et remplace limite de Un par l et celle de Vn par sa valeur.