Suites, convergence et encadrements

Sujet du devoir

On admet l’encadrement (E) : “ pour tout réel x ∈ [0 , π], x-(x^3/6) ≤ sin x ≤ n ∈ N* x ”
On pose pour tout n ∈ N*, Un = sin (1/n^2) + sin (2/n^2) + … + sin (n/n^2) et Vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2
L’objectif est d’étudier la convergence de la suite (Un).

1) Déduire de l’encadrement (E) que, pour tout n ∈ N*, Un ≤ Vn

2. a) Justifier que pour tout n ∈ N*, 1^3 + 2^3 + … + n^3 ≤ n^4
2. b) En déduire, à l’aide de l’encadrement (E), que, pour tout n ∈ N*, Vn – (1/6n^2) ≤ Un.

3) Montrer que lim Vn (n → +∞) = ½. En déduire que la suite (Un) est convergente vers un réel que l’on précisera.

Où j'en suis dans mon devoir

On sait d’après l’énoncé que :
x-(x^3/6) ≤ sin x ≤ x

On peut dire :
sin x ≤ x
sin x^2 ≤ x^2
sin 1/x^2 ≤ 1/x^2
sin x/x^2 ≤ x/x^2
Un ≤ Vn