Suites et congruence

Sujet du devoir

n désigne un entier naturel.

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par u0=14 et un+1=5un-6

1) a) Calculer u1,u2,u3,u4

b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant les 2 derniers chiffres de un?

2) a) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de un par 4?

b) Compléter le tableau suivant :

un modulo 4     :    

un+1               :

un+1 modulo 4 : 

un+2               :

un+2 modulo 4 :

Que peut on conclure pour un+2 et un pour tout entier naturel n ?

c) En déduire que pour tout entier k : u2k ≡ 2[4] et u2k+1 ≡ 0[4]

3)a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 2un = 5^(n+2) + 3

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n≥2 : 5^n≡25[100]

c) En déduire que pour tout entier naturel n : 2 un≡28[100]

4) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un suivant les valeurs de n

5) Soit d un diviseur positif commun à tous les un. Montrer que d=1 ou d=2

Où j'en suis dans mon devoir

1) a) u1= 64   u2=314   u3= 1564   u4= 7814

b) Quand n est pair on a un nombre qui fini par 14 et quand n est impair on a un nombre qui fini par 64.

Après ça je ne sais pas vraiment quoi faire.... 

Merci d'avance !