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Sujet du devoir
Une entreprise importe des oranges afin de fabriquer du jus d'oranges. Elle fabrique 500kg de jus au mois de janvier. A la fin du mois, il se vend 4% de la production mensuelle et le reste est stocké au fur et à mesure. Du fait d'une baisse de la demande, la production mensuelle diminue de 8% par mois
Pour tout entier n, on note (un), la quantité restante en fin de mois en kg, et Sn le stock après n mois de diminution, c'est à dire: Sn= u0 + u1 +... + un
1a) Justifier que u1= 441.6? Calculer u2.
1b) Déterminer la formule de récurrence donnant un+1 en fonction de un. En déduire la nature de la suite (un).
1c) Montrer que Sn= 6000*(1-0.92^n+1)
2) Quelle est la limite de (un) ? Quelle est la limite de (Sn)? Interpréter les deux résultats.
3a) La quantité stockée peut-elle atteindre 10 tonnes ?
3b) Déterminer au bout de combien de mois la quantité stockée dépasse 4 tonnes ? Combien de kg de jus seront alors vendus ?
Où j'en suis dans mon devoir
1a) u1 = u0 * 0.96*0.92 = 441.6
u2 = u1 *0.96*0.92 = 390.02
1b) On sair que u0=500 et que chaque fin de mois il y a 4% de la prod mensuelle qui se vend, soit une multiplication de 0.96. De plus chaque mois il y a 8% en moins de la prod mensuelle car la demande baisse, soit une multiplication de 0.92. Les deux se faisant tout les mois on a un+1 = un*0.96*0.92 = un*0.8832
Il s'agit d'une suite géométrique puisque d'un terme au suivant on multiplie par une constante, la raison = 0.8832.
1c) C'est la que je bloque. Je n'arrive pas au même résultat. J'ai
Sn = 500(1+0.8832+0.8832^2+...+0.8832^n)
7 commentaires pour ce devoir
bonjour
on te dit : Elle fabrique 500kg de jus au mois de janvier. A la fin du mois, il se vend 4% de la production mensuelle et le reste est stocké au fur et à mesure
donc Uo=500*0.96=480 car 4% à été vendu
ensuite Du fait d'une baisse de la demande, la production mensuelle diminue de 8% par mois
donc U1=production mensuelle de départ (500)*0.92(car baisse de 8%)*0.96(car 4% vendu)=460*0.96=441.6
pour U2=[(production du mois d'avant (500*0.92)*0.92(baisse de 8%*)(0.96)]=406.272
pour trouver ta raison Un+1/Un=U1/Uo=441.6/480=0.92 vérifie U2/U1=406.272/441.6=0.92 donc q=0.92
Montrer que Sn= 6000*(1-0.92^n+1)
somme des termes suites géométrique=1er terme * (1-raison^nbe terme/1-raison)
ici Sn=480* (1-0.92^n+1)/1-0.92=480/0.08(1-0.92^n+1)=6000(1-0.92^n+1)
Merci beaucoup de l'aide, ça m'a bien aidé.
J'ai pu faire la question 2 et 3a. Et je suis pas sur pour la 3b)
3b) Je trouve que la quantité stockée dépasse 4 tonnes au bout du 14eme mois: S14= 4132.8 kg
Puis on demande combien de kg seront alors vendus. Je ne sais pas quel calcul faire. Dois-je multiplier le tout: 4132.8 par 0.96 pour avoir la quantité vendue? On dois-je calculer la prod mensuelle du 14eme mois: u14 et multiplier ensuite par 0.96?
Ce qui donne : 149.37*0.96= 143.39 soit 5.98 kg de jus vendus
Merci encore
Et pour la 3a) Il suffit juste de dire que la quantité ne pourra pas atteindre 10 tonnes puisque la limite de Sn est de: 6tonnes ?
En effet, mais il faut justifier que la suite est strictement croissante pour celà
D'accord, donc je vais devoir calculer la dérivée puis faire une étude de signes et de variations ?
Et pour la 3b) la deuxième question : je dois calculer u14 et le multiplier par 0.96 ?
Ils ont besoin d'aide !
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Il y a un petit problème de raisonnement dû à la subtilité de l'énoncé. On part de 500kg d'orange, dont 4% ont été vendu pour le mois de Janvier. Pour le mois de Février, on a une baisse de production de 8%, mais on n'a pas de vente. Donc pour moi on a u0=0.96*500=480. Puis ui=0.92*u0=441.6. De même u2=0.92*u1=406.272.
Pour le 1.b) on aura donc une suite géométrique de raison 0.92 et de premier terme 480.
Pour le 1.c) Il suffit de faire une récurrence. Tu montres que le résultat et vrai pour u1:
d'un côté tu calcule avec la formule proposée puis tu compare à u0+u1 (ça marche).
Ensuite on suppose que la récurrence est vraie à l'ordre n et on essaye de montrer que la récurrence est vraie à l'ordre n+1.
Je te conseille de calculer S(n+1)-S(n) et de montrer que c'est bien égal à U(n+1).
Pour la suite je te laisse continuer, mais demande si tu as un soucis.
Merci beaucoup de l'aide. J'ai réussi la question 2 et 3a. Mais pas la 3b)
3b) Je trouve que la quantité stockée dépasse 4 tonnes au bout du 14ème mois: S14= 4132.8 kg
Puis on demande combien de kg seront alors vendus. Je ne sais pas quel calcul faire. Dois-je multiplier le tout: 4132.8 par 0.96 pour avoir la quantité vendue? On dois-je calculer la prod mensuelle du 14eme mois: u14 et multiplier ensuite par 0.96?
Ce qui donne : 149.37*0.96= 143.39 soit 5.98 kg de jus vendus ?
Merci encore