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Sujet du devoir
Bonsoir tout le monde !
Pour la rentrée, j'ai un devoir maison de Spécialité Math à faire composé de deux exercices. J'ai réussi le second mais je bloque totalement sur le premier.
L'énoncé du premier exercice est le suivant :
1) Établir que l'équation (F) : 14x2+7y2=102n (où x et y sont des entiers relatifs) n'a pas de solution.
2) On considère l'équation (G) : 3x2+7y2=102noù x et y sont des entiers relatifs.
a) Démontrer que si (x;y) est solution de (G), alors 3x22n(7)
b) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 3x2 par 7 ?
c) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 2n par 7 ?
d) Quel est l'ensemble des solutions de l'équation (G) ?
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai essayé de répondre à la première question en déterminant x et y avec un système de deux équations mais je bloque à un moment dans le calcul. J'obtiens par exemple x=(1-(7)*y)/14 et y=(1/7) - (2 - 2*(7)*y))/14
Ce sont des résultats peu probables, j'ai du m'embrouiller dans le calcul où alors j'ai dû utiliser une mauvaise méthode.
Pour toutes les questions 2), je bloque totalement. Je suppose juste que pour la 2)d), on peut déterminer l'ensemble des solutions à partir des restes trouvés dans les questions b) et c).
Je vous remercie d'avance pour votre aide, excellente soirée à tout le monde
3 commentaires pour ce devoir
C'est bien 10^2n ainsi que 7x^2 , 14x^2 et 3x^2
Donc des indications :
1) Passe modulo 7 ... tu vas trouver une contradiction !
seconde possibilité : 7 divise le membre de gauche mais pas celui de droite donc ....
2)
a) Démontrer que si (x;y) est solution de (G), alors 3x2 = 2n(7)
montre que le membre degauche est congru à 3x² modulo7 et que le membre de droite (10^2n) est congru à 2n modulo 7
b) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 3x2 par 7 ?
liste les restes : pour x on peut avoir 0 1 2 3 4 5 6
donc pour x² 0 , 1²=1 , 2² = 4 , 3²=9= 2 (7) , etc ...
ensuite même chose en multipliant par 3
c) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 2n par 7 ?
tu fais la même chose qu'avant
t
d) Quel est l'ensemble des solutions de l'équation (G) ?
là tu compares tes solutions en b et c!
Ils ont besoin d'aide !
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c'est 102n ou 10^2n ????
Je penche plus pour la seconde solution ...