Une application des équations différentielles à la biologie

Sujet du devoir

Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'équation différentielle :
(1) N'(t)=2N(t)-0,0045(N(t))²
où t désigne le temps (en heure), N(t) représente le nombres d'individusprésents dans l'enceinte à l'instant t.
N(0)=1000 le nombre initial d'individus.
Le but de l'exercice est de déterminer la fontion N.


1. On se propose de remplacer (1) par une équation différentielle plus simple puis de la résoudre.

a) On suppose que la fontion N ne s'annule pas sur [0;+infini[ et on pose, pour tout t>ou=0, y(t)= 1/N(t).
Calculer la dérivée de la fontion y.

b) Montrer que N est solution de (1) si et seulement si y est solution de (2) y'(t)=-2y(t)+0.0045.

c) Donner la forme générale des solutions de (2), en déduire la forme générale des solutions de (1).

d) Montrer que la solution de (1) vérifiant la condition initiale est :
N(t)= 1/(0.00225-0.00125e^-2t)


2. Etude de la fonction trouvée
On appelle (Z) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (5cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 sur l'axe des ordonnées).

a) Etudier les variations de N sur [0;+infini[.

b) Montrer que (Z) admet une assymptote (d) au voisinage de +infini.

c) Donner une équation de (T) tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

d) Représenter (Z), (d) et (T) dans un repère.


3. Déterminer graphiquement l'instant t où la population initiale aura diminuée de moitié.

Où j'en suis dans mon devoir

Je suis désolé, je suis tellement nulle en maths, que je n'ai rien pu faire du tout...
J'espère que vous allez y arriver mieux que moi.
Merci d'avance