Variation et continuité

Sujet du devoir

Exercice 2 :

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, soit Fn, la fonction définie sur [0,1] par : fn(x) = x^n-nx+1
Et Cn sa courbe dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O,i,j ).

1)a) Sur l'écran d'une calculatrice , visualiser les courbes C2,C3,C4.

b) Etudier la position relative des courbes Cn et Cn+1.

2)a) Démontrer que l'équation fn(x) = 0 admet une unique solution an.
b) Quel est le sens de variation del a suite (an) ?

Merci d'avance

Où j'en suis dans mon devoir

Alors mon travail effectué :

1)a Fait
b) Je vois ce que ça fait sur la calculatrice mais je sais pas COMMENT ETUDIER LA POSITION RELATIVE, s'il vous plait :/.

2)a) POUVEZ VOUS , VÉRIFIER L'EXACTITUDE DE MA RÉPONSE ET ME CORRIGER. IL EN EST DE MÊME POUR LA RÉDACTION..

On a fn(x)= x(exposant n )- nx +1
f'n(x) = nx(exposant n-1)* n = n((x(exposant n-1)-1)
On constate que x(exposant n-1) -1 est toujours inférieur à 0
car si on prend le domaine de définition [0;1] et n >2
si fn(1)=1-n+1 soit 2-n or n>2 alors fn(1)=0 !
On peut donc dresser le tableau de variation.
f'n(x) signe : toujours négative dans [0 ; 1]
et donc variation de fn : strictement décroissante dans [0,1]
D'après le tableau de variation et d'après le théorème de la bijection... il existe un x unique tel que fn(x)=0

b) Je ne vois pas COMMENT DEMONTRER. Si on observe les courbes , on voit bien que plus a est grand plus la fonction décroit.
a1, a2 , a3..


PS: Les majuscules ne sont pas là pour donner un ordre ou quoique ce soit. Elles sont justes là pour faciliter la lecture de mon exercice et vous permettre de centrer plus rapidement votre aide , sur les points où j'ai dû mal . (:

Merci d'avance,
Paulineee