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Sujet du devoir
Une ficelle de longueur 1m est coupée en deux morceaux.Avec l'un des morceaux, on forme un carré et avec l'autre, un cercle.
a) A quel endroit doit on couper la ficelle pour que la somme des aires des deux domaines obtenus soit maximale ?
b) Meme question pour que cette somme soit minimale.
Où j'en suis dans mon devoir
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Notons x la longueur de ficelle utilisée pour faire le carré et y la longueur de ficelle utilisée pour faire le cercle. Nous avons bien entendu : x + y = 1 donc y = 1 - x avec x un réel compris entre 0 et 1.
L'aire du carré est égale à : Acarré = (x/4)²
L'aire du cercle (on devrait plutôt parler de disque) est égale à : Acercle = PI * Rayon²
Or, nous pouvons constater que 1-x correspond à la longueur de la circonférence du cercle. Nous avons donc :
Périmètre du cercle = 1-x = 2 * PI * Rayon
Donc Rayon = (1-x)/(2PI).
D'où l'aire du cercle :
Acercle = PI * Rayon² = PI * (1-x)²/(2PI)² = (1-x)²/(4PI)
La somme des deux aires est donc égale à :
Acarré + Acercle = (x/4)² + (1-x)²/(4PI)
Acarré + Acercle = (x²*PI + (1-x)²*4)/(16PI)
Il reste donc à trouver la valeur de x comprise entre 0 et 1 qui maximise l'expression suivante : x²*PI + (1-x)²*4
Réaliser un tableau de variation me semble une bonne idée.
Bonne continuation. N'hésite pas à demander de l'aide si tu as des difficultés à continuer la résolution de cet exercice.