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Sujet du devoir
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= (x^3-x^2+3x+5)/(x^2+3)On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i;j)
1/Etudier le signe de u(x)=x^4+6x^2-16x+9 après avoir vérifier que u(x)=(x-1)²(x²+2x+9), puis déduire la variation de f
2/donner les équations des tangentes aux points d'abscisses -1, 0 et 1
3/On donne la droite D:y=x-1. Soient M et P les points de même abscisse x appartenant respectivement à C et D. Vérifier que PM<8/(x²). Si l'on veut que la distance PM soit inférieure à 1mm, suffit-il de prendre : |x|>4, |x|>16 ou |x|>64? Que se passe-t-il pour PM lorsque |x| devient grand ? Qu'en déduisez-vous graphiquement ?
4/ Préciser la position de C par rapport à D
5/ démontrer que C n'admet qu'une seule tangente de coefficient directeur 1. La préciser. Peut-on l'expliquer graphiquement ?
7/A l'aide du graphique, puis par le calcul, déterminer les valeurs de m pour lesquelles la droite Dm: y=x+m rencontre C en deux points M' et M" (distincts ou confondus). Quel est l'ensemble décrit par le milieu I de [M'M"]
Où j'en suis dans mon devoir
Je bloque dès la première question.Je trouve en effet que u(x)=(x-1)²(x²+2x+9) et que f(x)=u(x)/((x²+3)²)
cependant, lorsque je veux faire le tableau de signe pour déterminer les variations de f, je n'arrive pas à trouver le signe de u(x).
5 commentaires pour ce devoir
Il faut faire un tableau des signe de u en notant les valeurs où u vaut 0
u(x)=x^4+6x^2-16x+9 or u(x)=(x-1)²(x²+2x+9)
x²+2x+9 est toujours positif car delta négatif (sans racine) et le coefficient du terme de degré 2 vaut 1 (positif, parabole orienté vers le haut)
u s'annule pour x=1 et du signe de (x-1)²>=0 (c'est un carré)
ligne des x_______-OO_____________1_____________+OO
signe de u________________+_______0_____+__________
x²+2x+9 est toujours positif car delta négatif (sans racine) et le coefficient du terme de degré 2 vaut 1 (positif, parabole orienté vers le haut)
u s'annule pour x=1 et du signe de (x-1)²>=0 (c'est un carré)
ligne des x_______-OO_____________1_____________+OO
signe de u________________+_______0_____+__________
Attention c'est f'(x)=u(x)/(x+3)²
f' est du signe de u
Donc f est une fonction croissante sur R car sa dérivée est positive sur R.
f' est du signe de u
Donc f est une fonction croissante sur R car sa dérivée est positive sur R.
Quelques indications pour la suite.
2) Pour x0=1 f(x0)=f(1)=2
f'(1)=0
l'équation de la tangente pour x=1: y-f(1)=f'(1) (x-1)
donc y=2+0(x-1)=2 tangente horizontale y=2
faîtes de même pour x=-1 et x=0
3)Faîtes un tracé avec géogébra (f et D) pour vous aider.
PM (c'est la distance certicale entre les deux tracés)
PM= f(x)-(x-1)
PM=(x^3-x^2+3x+5)/(x^2+3) -(x-1) mettre au même dénominateur
On doit trouver PM=8/(x²+3) !!!
Donc PM < 8/x²
PM < 1mm cad PM < 10^-3 pour 8/x² < 10^-3 cad 8(10^3)
Conclusion: Donc 0< PM < 8/x²
quand x augmente, 8/x² tend vers 0 (limite de 1/x²=0 quand x tend vers + l'infini) et PM tend vers 0
La courbe de f se rapproche de D quand x augmente.
En math on dit que la courbe de f admet au voisinage de +OO la droite D pour asymptote.
4) f(x)-(x-1)=8/(x²+3) positif donc la courbe de f est au dessus de celle de D.
5)Il faut montrer que l'équation f'(x)=1 admet une seule solution!
car le coeff dir de la tangente est donné par f'(x0)
(x^4+6x^2-16x+9)/(x²+3)² = 1 cad (x^4+6x^2-16x+9)=(x²+3)²
développer tout et arriver au stade 16x=0 donc x=0 seule solution donc une seule tangente de coeff dir 1; f'(0)=1
Cette tangente a pour équation (voir question 2)
y-f(0)=f'(0) (x-0) donc y=(5/3)+1(x-0) donc y=5/3+x
7) Graphiquement, pour x=0 on a une tengente (contact double, compte pour deux)
Cette tangente a pour équation : y=5/3 + x
m=5/3 contact double
A priori pour m -1 < m < 5/3 on a deux points d'intersection
(raisonner en sachant que y=x + m se déduit de y=x par translation (on fait monter ou descendre de m la droite y = x)
Par le calcul: résoudre le système
y=x+m
y=f(x)
donc f(x)=x+m etc ...
fin
2) Pour x0=1 f(x0)=f(1)=2
f'(1)=0
l'équation de la tangente pour x=1: y-f(1)=f'(1) (x-1)
donc y=2+0(x-1)=2 tangente horizontale y=2
faîtes de même pour x=-1 et x=0
3)Faîtes un tracé avec géogébra (f et D) pour vous aider.
PM (c'est la distance certicale entre les deux tracés)
PM= f(x)-(x-1)
PM=(x^3-x^2+3x+5)/(x^2+3) -(x-1) mettre au même dénominateur
On doit trouver PM=8/(x²+3) !!!
Donc PM < 8/x²
PM < 1mm cad PM < 10^-3 pour 8/x² < 10^-3 cad 8(10^3)
Conclusion: Donc 0< PM < 8/x²
quand x augmente, 8/x² tend vers 0 (limite de 1/x²=0 quand x tend vers + l'infini) et PM tend vers 0
La courbe de f se rapproche de D quand x augmente.
En math on dit que la courbe de f admet au voisinage de +OO la droite D pour asymptote.
4) f(x)-(x-1)=8/(x²+3) positif donc la courbe de f est au dessus de celle de D.
5)Il faut montrer que l'équation f'(x)=1 admet une seule solution!
car le coeff dir de la tangente est donné par f'(x0)
(x^4+6x^2-16x+9)/(x²+3)² = 1 cad (x^4+6x^2-16x+9)=(x²+3)²
développer tout et arriver au stade 16x=0 donc x=0 seule solution donc une seule tangente de coeff dir 1; f'(0)=1
Cette tangente a pour équation (voir question 2)
y-f(0)=f'(0) (x-0) donc y=(5/3)+1(x-0) donc y=5/3+x
7) Graphiquement, pour x=0 on a une tengente (contact double, compte pour deux)
Cette tangente a pour équation : y=5/3 + x
m=5/3 contact double
A priori pour m -1 < m < 5/3 on a deux points d'intersection
(raisonner en sachant que y=x + m se déduit de y=x par translation (on fait monter ou descendre de m la droite y = x)
Par le calcul: résoudre le système
y=x+m
y=f(x)
donc f(x)=x+m etc ...
fin
A priori pour m vérifiant -1 < m < 5/3 on a deux points d'intersection
Ils ont besoin d'aide !
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