Devoir maison de mathématique: "Position relative de trois courbes"

Sujet du devoir

Position relative de 3 courbes

On ne considère que l'intervalle [0;+l’infini [sur tout l'exercice.
Soit f, g et h trois fonctions définis sur [0;+l’infini [ par:
- f(x)= 1/(1+x)
- g(x)= 1- x
- h(x)= 1- x + x ²

1) Tracer le tableau de variation de chacune de ces fonctions en justifiant correctement (à peu près réussis).

2) Tracer les courbes Cf, Cg et Ch en justifiant correctement les points choisis (à peu près réussis)

3) a) Montrer que, pour tout réel x ≥ 0, f(x)-g(x)= x²/(1+x).
b) En déduire que, pour tout réel x ≥ 0, g(x) ≤ f(x).

4) Montrer que, pour tout réel de x ≥ 0, f(x) ≤ h(x).

5) Décrire les positions relatives précises des courbes Cf, Cg et Ch sur l'intervalle [0;+l’infini [.

6) A l'aide des réponses aux questions 3b) et 4):

-a) donner un encadrement d'amplitude 4 X 10-8 du nombre 1/1.0002
-b) donner un encadrement d’amplitude 10-12 du nombre 1/1.000001

J’espère beaucoup obtenir de l'aide pour ce travail noté... Merci d'avance et bonnes fêtes !

Où j'en suis dans mon devoir

1) f(x)= 1/(1+x) f(x) existe x ≠ -1 alors Df=R/ {-1 }

On a donc : -en première ligne du tableau: x ; -l'infini ; -1 ; +l'infini
-en deuxième ligne 1+x: croissant sur tout l'intervalle et passe par 0 en x= -1 (car la fonction est 1+x est affine avec a=1 supérieur à 0 donc elle est croissante sur R et s'annule en 0)
-en troisième ligne f(x) qui est décroissante sur ]-l'infini; -1] et sur ]-1;+l'infini] avec une double barre en -1 car valeur interdite (car 1+x et f(x) ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où x+1 différent de 0 c'est à dire sur ]-l'infini;-1[ et sur ]-1;+l'infini]).

1) g(x)= 1- x. g(x) est une fonction affine avec a=-1 inférieur à 0 et b=1.
-b/a=1 et f(1)=0.
Donc 1-x est décroissante sur R et s'annule en x=1.

1) h(x)= 1- x + x ² h(x)est un trinôme du 2nd degré avec a=1 supérieur à 0 ; b=-1 et c=1.
De plus, -b/2a= 0.5 et f(0.5)= 3/4.
La fonction admet donc pour minimum 3/4 atteint en x=0.5.
La fonction est décroissante sur ]-l'infini;0.5] et est croissante sur [0.5;+l'infini[.

2) f(x)= 1/(1+x). TABLEAU DE LA CALCULATRICE AVEC UN PAS DE 0.25 ET SUR [0;2.75]

2) g(x)= 1- x. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite donc pour tracer g(x)= 1- x, il suffit de trouver deux points:
-A (0;y)--> si x=0, alors y= f(o)= 1 donc A (0;1)
-B (2;y)--> si x=2, alors y= f(2)= 1-2= -1 donc B (2;-1)

2) h(x)= 1- x + x ². TABLEAU DE LA CALCULATRICE AVEC UN PAS DE 0.25 ET SUR [0;2.75]

3) a) Je ne sais pas. J'ai seulement fait f(x) - g(x) et j'ai trouvé x²/(1+x) mais cela ne montre rien...
b) J'ai fait la quantité conjuguée et j'ai trouvé
[(1/1+x)²-(1-x)²]/[(1/1+x)+1-x].
Je ne pense vraiment pas que c'était ce qui était demander mais bon...

4) Je ne sais pas.

5) Cf est strictement située au dessus de Cg sur [0;+l'infini[
Cf est strictement située en dessous de Ch sur [0;+l'infini[
Cg est strictement située en dessous de Cf et Ch sur [0;+l'infini[
Ch est strictement située au dessus de Cg et Cf sur [0;+l'infini[
Ces trois courbes ont une ordonnée à l'origine commune: A(0;1)
Je ne sais également pas si c'était ce qu'il fallait faire.

6) Je n'ai pas les informations nécessaires pour répondre.

J’espère beaucoup obtenir de l'aide pour ce travail noté... Merci d'avance et bonnes fêtes !