DM fonctions - limites

Sujet du devoir

Bonjour a tous.
J'ai un devoir maison a faire pour demain, j'en ai fait la majeure partie jusqu'a ce que je tombe sur un os maintenant..
Le DM est en deux partie:

Partie A
Sois la fonction g définie sur R par: g(x)=x^3-3x-3

1a) étudier le sens de variation de g sur R
b) Déterminer le slimites de g en +infini et -infini
c) Donner le tableau de variation complet des variations de g

2) démontrer que l'équation g(x)=0 admet dans R une solution unique que l'on notera a. Donner une valeur approchée de a a 10^-2 près.

3) Déterminer le signe de g sur R.

Partie B:

Sois la fonction f définie sur ]1;+infini[ par f(x)=(2x^3+3)/(x^2-1)

1a) Déterminer les limites de f en 1 et +infini.
b) En utilisant la définition de a et en exprimant a^3 et a^2 en fonction de a, démontrer que f(a)=3a.
c) Calculer puis exprimer f'(x) en fonction de g(x) et en déduire que le signe de f'(x) est le meme que celui de g(x) sur ]1;+infini[.
d) En déduire le sens de variation de f sur ]1;+infini[ et donner le tableau de variation de f.

2a) Démontrer que pour tout x de ]1;+infini[ : f(x)=(2x+3)/(x^2-1)
b) En déduire que la droite d'équation y=2x est une asymptote à la courbe représentative Cf de f.
c) Démontrer que Cf admet une autre asymptote.
d) Construire Cf et ses asymptotes dans un repere orthonormal d'unité 1cm.

Où j'en suis dans mon devoir

Partie A

1a) c'est fait a l'aide de Delta qui fait admetre 2 changements de variations en -1 et 1

b) g(x) est divisée en u= x^3 et v=-3x-3 or u s'étend vers -infini quand x tend vers -infini alors que v tend vers +infini et u s'etend vers +infin quand x tend vers +infini alors que v tend vers -infini donc d'apres les correspondance de limite on ne peux pas directement conclure sur la variation de g(x) quand x tend vers + ou - infini.

c) Rajout de F.I. sur la tableau aux f(x) quand x tend vers + et -infini

2) C'est là que ça commence a bloquer car le calcul de g(x)=0 ne m'amene pas bien loin.

3) Puisque g(x) n'admet qu'une solution dans R pour g(x)=0, alors le signe de g ne change qu'une fois. On prend un x inférieur a 2.1 (d'apres la représentation de la calculatrice, "a" tourne autour de 2,1) sur lequel on applique la fonction = résultat négatif et un nombre supérieur a 2.1 sur lequel on applique la fonction g = résultat positif. Donc g négatif sur ]-infini; 2.1] et positif sur [2.1;+infini[.



Pour cette partie c'est donc réglé sauf pour la question 2



Partie B:

1a) f(x) de la forme u/v où u=2x^3+3 et v=x^3-1
En étudiant les variation de chacune des 2fonctions lorsque x tend vers 1 puis x tend vers +infini on obtient que f(x) tend vers +infini lorsque x tend vers 1 et f(x) tend vers F.I (on ne peut pas directement conclure) lorsque x tend vers +infini car v et u tendant toutes deux vers +infini pour x tend vers +infini, la variation ne peut pas etre directement donnée.

b) Là évidemment, avec le probleme de la Partie précédente, je ne peux pas résoudre la question.

c) En fin de calcul j'obtien f'(x)= (4x^4)/(x^2-1) = 4x/(x-1) mais bon je ne vois pas vraiment de rapprochement avec g(x)?!

d) Je ne peux donc pas répondre à cette question..

2a) Je ne l'ai pas encore fait mais je suppose qu'en développant ou factorisant, je devrai tomber sur ce résultat..

b) Comment peut on en déduire ça d'apres le calcul précédent?

c) Valeur interdite de f(x) ?

d) A faire.


Donc voila, pour cette seconde partie, celles qui me genent principalement sont les questions 1b, c et 2b.



Merci d'avance pour votre aide et vos conseils :)