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Sujet du devoir
Désoler par avance parfois pour l'écriture mais je n'est pas d'éditeur pour l'écriture mathématique et si vous en avez un bien et pas compliquer à utiliser vous pouvez m'en proposer, merci :)
I Etude d'une suite définie par une relation de récurrence de type Un+1+=AUn+B
On se propose d'étudier la suite (Un) définie par U0=0 et pour tout n, Un+1=(-1/3Un)+2
1/ Dans un repère orthogonal (unité 6 cm ), représenter les quatre premiers termes de cette suite.
2/ Quelles conjectures pouvez-vous faire sur cette suite?
3/ Notons a l'abscisse du point d'intersection de la droite D d'équation y=(-1/3x)+2 et de la droite (triangle) d'équation y=x
a) Calculer a
b) Démontrer que la suite (Tn), définie pour tout entier naturel n par Tn=Un-a, est géométrique.
c) En déduire une expression de Tn, puis de Un en fonction de n.
Commentaire: L'étude des suites définies par Un+1=AUn+B=f(Un) avec a différent de 0 et a différent de 1 peut toujours se faire en passant par la suite définie par Vn=Un-a, où a est le réel tel que f(a)=a, c'est-à-dire l'abscisse du point d'intersection des deux droites d'équation y=ax+b et y=x
II Exercices sur la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique
Exercice 1: (Un) est une suite arithmétique telle que : U1+U2+U3=9 et U10+U11=40
a) Calculer U0 et la raison r
b) Calculer la somme S=U0+U1+.......+U30
Exercice 2: (Un) est une suite géométrique de raison q=3 et U4=12
Calculer U4+U5+......+U9
Exercice 3: (Un) est une suite géométrique telle que: U10=25 et U13=200
a) Calculer la raison q
b) Calculer la somme S=U10+U11+.....+U20
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'est pas fait que II Exercice 2 et Exercice 3, les autres je n'y arrive pas
Exercice 2: q=3 u4=12
Calcul de U4+U5+.....+U9
S=(q^"nombre de termes"-1)/(q-1) * 1er terme
S=(3^6-1)/(3-1) * 12
S=(729-1)/(2) * 12
S=728/2 * 12
S=4368
Exercice 3: a) U10=25 U13=200
Calcul de la raison q
U13=U10*q^3
u13/u10=q^3
200/25=q^3
8=q^3
(q^3)^1/3=8^1/3
q=2
b) Calcul de la somme S=U10+U11+....+U20
S=(q^"nombre de termes"-1)/(q-1) * 1er terme
S=(2^21-1)/(2-1) * 25
S=(2097152-1)/(1) * 25
S=2097151/1 * 25
S=52428775
Voilà, merci d'avance pour votre aide pour les autres exercices
48 commentaires pour ce devoir
Pour le grand I premiere question pour calculer les 4 premiers remplace dans un premier temps Un par U0 tu trouve ton resultat pour U1, puis pour U2 tu met ton resultat de U1 donc U1+1=-1/3U1+2 et ainsi de suite jusqu'à U4 !
Pour les conjectures : est ce une suite croissante, décroissante , quelle serait sa limite est ce une suite numerique , géometrique etc etc ...
Pour le 3 , on sait que y=x donc fais plusieurs calculs avec ton equation et trace ta droite ensuite pour trouver a !
J'ai calculé les quatre premier termes:
Un+1=-1/3Un+2
Un+1=-1/3*0+2
=2
Un+1=-1/3*2+2
=4/3
Un+1=-1/3*4/3+2
=14/9
Un+1=-1/3*14/9+2
=40/27
J'ai placé les suites sur le graphique mais j'arrive à un résultat dont je ne sais pas quoi dire, les points ne sont pas régulier...
Bonjour, les questions 2b) et 2c) de l'exercice I sont très classiques, notamment dans les sujets de bac.
Tu trouveras la méthode pour les faire en regardant la vidéo partie 2 ici : suites géométriques
Bonne journée !
J'ai regardé la vidéo mais je vois pas pour faire ce qui est demandé
je n'ai pas le droit de tout te dire non plus mais Uo tu dois trouver -1 et r 2 a toi de faire ton equation pour arriver a ce resultat
Oui je sais, je ne demande pas les réponses toutes faites mais je cherche à comprendre et je n'est jamais vu ça en cours c'est pour ça que j'ai du mal
Il faut faire comment, peux tu m'éclairer?
Ta suite n'est pas possible car on ne peut pas diviser par 0 !!!
Soit ton U0 est faux soit c'est ta relation de récurrence (Un+1 = ...)
Bonjour milexarc971,
Au vue des calculs faits par Melsmel, je pense que la suite est Un+1= -(Un / 3) + 2
Et donc U0=0 est tout a fait possible.
Bonjour,
Ex1 I
1)
Vos calculs sont bons. Juste vous pouvez écrire U1=2, U2=4/3, U3=14/9 et U4=40/27
2)
Avec les quatre premiers termes, il est difficile de conjecturer quelque chose.
A l’aide d’un tableur, calculez les dix premiers termes. placez les dans le même repère.
Que voyez-vous ?
3a)
Calculez le point d’intersection de D et y=x, reviens à résoudre y=(-x/3)+2=x
Quelle est la valeur de x ? c’est « a »
3b)
Tn=Un-a et U(n-1)-a= T(n-1)
A partir de Tn=Un-a et en utilisant Un=(-U(n-1)/3)+2, essayer de retrouver T(n-1).
Puisque il est demandé de prouver que Tn est géométrique, cela signifie que :
Tn=k * T(n-1) , où k est un nombre réel.
Je répond à ceci demain merci
2/ La suite est non monotone
3/a) je trouve 1,5
b) je trouve Tn-1=-Un-2/3+0.5 mais je suis pas sur
c)...?
2)
Effectivement, la suite n’est pas monotone, mais je pense qu’il demande de conjecturer autre chose.
Avez-vous calculé les dix premiers termes ?
Graphiquement, la distance entre deux points qui se suivent que fait elle ? Conjecturez ….
3a)
a=3/2=1.5 ; ok
3b)
Le but de cette question est de prouver que T(n)= k * T (n-1), de trouver la valeur de k.
On a :
Un=-U (n-1)/3 +2
T(n)=U(n)-a = U(n)-1.5
Remplacez dans la deuxième égalité par l’expression de U(n). Vous allez trouver T(n) en fonction de U (n-1).
Ensuite, T (n-1)= U (n-1)-a ; comme on nous demande de prouver que T(n)= k * T (n-1) ; remplacez T (n-1) par son expression.
Puis développez et identifiez la valeur de k.
Quelle est-elle ?
2/ Elle est non monotone et décroissante
3/b) J'ai essayer :
Quand je remplace ça me donne
T(n)=(U(n-1)/3+2)-1.5
T(n)=(U(n-1)/5)-1.5
T(n)=(U(n-1)-7.5)/5
Si j'ai bien compris Un=-U (n-1)/3 +2 je n'y touche pas mais après je n'y arrive pas
2) non elle n'est pas decroissante ; on reviendra dessus à la fin
3b) Dans l'enoncé : Un=-(U(n-1)/3) +2=2-(U(n-1)/3)
reprenez T(n).
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)=U(n)-1.5
T(n)=2-(U(n-1)/3)-1.5
T(n)=0.5-(U(n-1)/3)
T(n)=1.5-U(n-1)/3
Désoler mais je n'y arrive pas, je ne comprends pas comment y parvenir
T(n)= k * T (n-1) ;
Comme T (n-1)= U (n-1)-1.5, on peut ecrire : T(n)= k * (U (n-1)-1.5)
Donc T(n)= k * U (n-1)-1.5k
Comme T(n)=0.5-(U(n-1)/3) (c’est bon)
identifiez la valeur de k.
La valeur de K est de égale à 0.5?
non !
il y a deux termes : celui avec U(n-1) et la constante dependant de k.
donc puisque
T(n)= k * U (n-1)-1.5k
T(n)= -(U(n-1)/3) + 0.5
On peut écrire k * U (n-1) = -(U(n-1)/3) et -1.5k = + 0.5
Donc si j'écris ça au propre ça donne:
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)=U(n)-1.5
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)=2-(U(n-1)/3)-1.5
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)=0.5-(U(n-1)/3)
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)= k*U(n-1)-1.5k
Un=2-(U(n-1)/3)
T(n)= -(U(n-1)/3)+0.5
?
-1.5k = + 0.5
Que vaut k ?
et vérifiez dans l'autre égalité pour voir si c'est bon.
K=-3
Ou -0.33 parce que je ne sais jamais le sens
C'est l'un ou l'autre.
Vérifiez avec k * U (n-1) = -(U(n-1)/3)
D'après vous k=???
En remplaçant dans -(U(n-1)/3) par -3
Je trouve au final U(n-1)
Dans k * U (n-1) , remplacez par les valeurs de k que vous avez trouvé. il faut arriver à -(U(n-1)/3)
Quelle est la bonne?
Je pense que c'est -3 mais quand je place dans k*U(n-1)
-3*U(n-1)
Je ne vois pas comment faire pour que -3 disparaissent et que le 3 en fraction apparaissent
on n'est pas dans un exercice de magie.
-1.5k = + 0.5 , pour résoudre on doit diviser de chaque côté du signe "=" par "-1.5"
-1.5*k / (-1.5) = 0.5/(-1.5)
donc k=??
k=-0.33
Donc T(n) = (-1/3) * T(n-1) , c’est bien la forme d’une suite géométrique.
c)
Regardez dans votre cours, comment exprimez T(n) en fonction de n ?
Calculez T(0) avec U(0).
Puis comme T(n)=U(n)-1.5 , vous pourrez trouver U(n) en fonction de n.
Uo=0
Donc To=0?
En cours nous n'avons jamais fais d'exercice de ce type donc j'ai pas d'idée de comment trouver
T (n)= U (n)-1.5, quant n=0 , U(0)=0 => T(0)=U(0)-1.5 = ....
donc T(0)=???
Si vous avez cet exercice à faire, c'est que dans votre cours il y a la solution; regardez le paragraphe suite géométrique.
Uo=0 To=-1.5
et la formule de la suite géométrique?
Tn=To*q^n
Tn=-1.5*1.5^0
La formule est :
V(n) = q * V(n-1) ; V(0) = x
Alors V(n) = V(0) * q^n
Dans l’exercice, quelle est la valeur de « q » ?
Donc T(n)=T(0)* …
q=-0.33?
T(n)=To*(-0.33)?
La formule générale est V(n) = V(0) * q^n
Où est passé le "n" dans T(n)=To*(-0.33)?
Ensuite T (n)= U (n)-1.5 donc U(n)=??? en fonction de T(n) puis remplacez par l'expression de T(n) en fonction de "n"
Où est passé le "n" dans T(n)=To*(-0.33)?
n c'est 0
Un=0
To=-1.5*(-0.33)
?
La formule V(n) = V(0) * q^n sert à calculer la valeur de V(n) juste avec n sans calculer toutes les valeurs précédentes.
L’énoncé dit « c) En déduire une expression de Tn, puis de Un en fonction de n. »
L’exercice veut une expression de T(n) en fonction de « n » ; puis U(n) en fonction de « n ».
Je suis désoler je n'y arrive pas malgré toute vos explications
V(n) = V(0) * q^n
V(n) = 0 *(-0.33)^0
dans la formule, V(n)=V(0)*q^n
si n=0 alors V(0) = V(0)*q^0 comme q^0 est toujours égal à 1 quelque soit la valeur de q.
si n=1 alors V(1) = V(0)*q^1 = V(0)*q
si n=2 alors V(2) = V(0)*q^2
si n=3 alors V(3) = V(0)*q^3.
etc...
Ecrivez T(n) en fonction de "n".
Comment fait t'on pour écrire T(n) en fonction n?
T(n)=T(0)*q^n remplacez "q" par sa valeur.
puis U(n) en fonction de "n"
T(n)=To*(-0.33)*n
oui c'est cela: T(n)=To*(-0.33)*n . Vous pouvez remplacer T(0) par sa valeur
ensuite souvenez vous que "T(n)=U(n)-a" => T(n)=U(n)-1.5, il faut modifier cette égalité pour exprimez U(n) = T(n) ....
puis remplacez T(n) par To*(-0.33)*n
Serait-il possible que vous me disiez comment rédiger sur ma copie la réponse I 3/b et c) ?
On fini les deux questions et on voit cela après
Ils ont besoin d'aide !
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Petite aide pour la premiere question de l'exo 1 du grand II
http://www.devoirs.fr/1ere/mathematiques/les-suites-arithmetiques-157210.html
Merci pour le lien
Exercice II
1/ a) Un=U0+nr
U1=Uo+1*r
U2=Uo+2*r
U3=Uo+3*r
__________
9=3Uo+6*r
0=3Uo+6*r-9
3Uo=-6r+9
Uo=-2r+3
Uo+2r=3
U10=Uo+10*r
U11=Uo+11*r
____________
40=2Uo+21r
Maintenant pour le b) je connais la formule mais je ne sais pas remplacer
S=("1er terme"+"dernier terme")/(2)*"nombre de termes"
....