DM Math 1ère S

Sujet du devoir

N°100 Moitié de la distance ou du temps
Un automobiliste effectue un trajet de 240 km. Sur la moitié du trajet, il emprunte des routes et sur l'autre moitié l'autoroute. Il effectue ce parcours en 2h 30min.
S'il avait parcouru 240 km en roulant la moitié du temps sur route et l'autre moitié sur l'autoroute, il aurait mis 6min de moins.
Calculer les vitesses moyennes sur route et autoroute de cet automobiliste.

N°101 Recette maximale
Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à 8€ la place, il pouvait compter sur 500 spectateurs.
Par ailleurs, il a constaté que chaque fois qu'il diminue de 0,50€ la prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
Quel tarif doit-il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Calculer alors cette recette.

Où j'en suis dans mon devoir

N°100
2h30=2h+30min=120min+30min=150min
Vmoy=(240*60)/(150-6)=100km/h
Vroute=100-d Vautoroute=100+d
On cherche d :
[120/(100+d)]+ [120/(100-d)]=2,5
<=> [120*(100-d)/(100+d)*(100-d)]+[120*(100+d)/(100-d)*(100+d)]=2,5*(100-d)*(100+d)
<=> [120*(100-d)]+[120*(100+d)]=2,5(10000+100d-100d-d²)
<=> 120(100-d+100+d)=2,5(10000-d²)

Comment on passe de -d² à -d³ ?! Je l'ai trouvé à l'aide du prof.

<=> 120*200=25000-2,5d³
<=> 24000=25000-2,5d³
<=> -2,5d³=24000-25000
<=> -2,5d³=-1000
<=> 2,5d³=1000
<=> d²=400
<=> d³=20
Donc Vroute=100-d=100-20=80
Vautoroute=100+d=100+20=120
En conclusion, la vitesse moyenne sur route est de 80km/h et la vitesse moyenne sur autoroute est de 120km/h.


N°101
On donne x la diminution du tarif et R la recette.
Soit f(x) =(8-0,5x)*(500+100x) avec Dx= [0;16]
=4000+800x-250x-50x²
=-50x²+550x+4000
Extremum : (-b)/(2a)
Donc (-550)/(2*-50)=5,5
R(5,5)=-50*(5,5)²+550(5,5)+4000
=5512,5
Pour une recette maximale de 5 512,50€, le directeur doit vendre ses billets à 5,50€.

Pouvez-vous vérifier mon travail et la rédaction s'il vous plait et m'expliquer le calcul du N°100.
Merci d'avance !