DM mathématique 1S.

Sujet du devoir

Bonjour pourriez-vous m'aider pour ce DM?

Le paradoxe de Saint Pétersbourg.

On considère le jeu suivant ; on lance en l'air une pièce de monnaie et l'on note ce qui apparaît lorsqu'elle retombe.
Si "face" apparait, la banque paie 2€ au joueur et on arrête le jeu, sinon en relance la pièce.
Si "face" apparait, la banque paie 4€ au joueur et on arrête le jeu, sinon en relance la pièce.
Si "face" apparait, la banque paie 8€ au joueur et on arrête le jeu, sinon en relance la pièce.
Ainsi de suite.

1. Si "face" apparait pour la première fois au n ième lancers, que paie la banque au joueur?

2. On se limite a n lancers. Soit Xn la variable aléatoire donnant le gain du joueur sur n lancers. Déterminez l'éspérance de Xn.

3. Pour quelle mise initiale ce jeu est il équitable?

4. Que se passe-t-il si l'on ne limite pas le nombre de lancers?

Exercice 2.

X est une variable aléatoire d'espérance E(X), et de variance V(X). Démontrez que : pour tout réels a et b, E(aX+b)=aE(X)+b et que V(aX)=a2V(X).

Exercice 3.

Dans une pièce de bois parallélépipédique de longueur 12, de largeur 8 et d'épaisseur x en cm, on extrait un cube d'arête x. Comment choisir x pour que le volume restant soit maximal?

Merci d'avance.

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 : question 1 : la banque paie 2^n?
2 : espérance infinie?
3 : ?
4 :?

Exercice 2 : ?

Exercice 3 : x=0?