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Sujet du devoir
Bonjour tout le monde!
J'ai un problème sur les suites que je n'arrive pas à résoudre:
Soit (Un) la suite définie par:
U0=0
U1=1
Un+2=Un+1+Un (1)
1) Calculer U1, U2, U3, U4, U5.
2) Soit α et β (α<β) les deux solutions de l'équation x^2-x-1=0. Donner les valeurs exactes de α et β.
3) Montrer que la suite définie pour tout entier naturel n par vn = λα^n + μβ^n est solution de (1).
4) Déterminer λ et μ telles que V0=U0 et V1=U1. On admet désormais que pour tout entier naturel n, Un=Vn.
5) Soit Sn=U0+U1+U2+...+Un. Déduire des questions précédentes l’expression de Sn en fonction de n.
Merci d'avance !
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fait la question 1 et 2. C'est à partir de la 3 que je bloque.
1 commentaire pour ce devoir
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Bonjour,
3) Il faut exprimer vn+2 et vn+1 comme vn = λα^n + μβ^n
vn+1 = λα^(n+1) + μβ^(n+1)
Puis remplacer dans Vn+2=Vn+1 + Vn.
Vn+2 - Vn+1 - Vn = 0
ensuite il faut remplacer Vn+2 ... par leurs expression en fonction de λ,α.. et montrer que c'est égal à 0.
il faut essayer de le mettre sous la forme (en factorisant) :
λα^n * (.........) + μβ^n * (......) = 0
une fois que c'est sous cette forme penser que alpha et beta sont solution de l'équation :
x^2-x-1=0 donc si on a α^2-α-1 alors ça fait 0 (pareil avec beta).
bon courage !