EXERCICE=DM TRES DIFFICILES SUR LES NOMBRES COMPLEXES !!!

Sujet du devoir

Bonjour, voila j'ai un exercice sur les nombres complexes en tant que DM à faire et j'ai beaucoup de mal, de l'aide serait la bienvenue. Merci.
Voici l'exercice :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (0, u (vecteur), v (vecteur)) direct.
Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe –i.
Soit f la fonction définie sur C*\ {i} par f(z)= (1-iz)/ (z-i).

1) Vérifier que pour tout z de C*\ {i}, f(z)=-i+2/ (z-i).

2) a) Démontrer que –i n’a pas d’antécédent par f.
b) Déterminer les antécédents de 0 et de i par f.

A tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’=f(z).
3) a) Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des longueurs AM et BM’ est égale à z.
b) Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M’ se déplace sur un cercle C’ dont on précisera le cercle et le rayon.

4) a) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z’-i soit un nombre réel non nul.
b) Démontrer que lorsque M décrit E, M’ se déplace sur une autre droite « DELTA» que l’on précisera.
c) Lorsque M décrit E, M’ décrit-il toute la droite « DELTA» ?

5) Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.

*=ensemble des nombres complexes.

C'est assez important comme DM donc je remercie sincèrement ceux qui m'aideront. MERCI !!!

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai beaucoup de difficulté face à cette exercice, je ne comprend pas tellement le sujet donc de l'aide serait la bienvenue. Merci !!!