Fonctions polynômes de degré 2

Sujet du devoir

Bonjour tout le monde,
je rencontre un problème pour un exercice de maths et voici le sujet:
Soit f un polynôme de degré 2 tel que f(11) = 181 et, pour tout réel x, x²-2x+2 a. On pose g(x)= x²-2x+2 et h(x)= 2x²-4x+3. Déterminer les formes canoniques de g(x) et h(x).
b. En déduire que, pour tout réel x, f(x) >ou= 1. Déterminer f(1).
c. Compléter le raisonnement suivant: "Le minimum de f sur R est ... ; il est atteint en ... Ainsi f(x) peut s'écrire sous la forme f(x)=a(x-...)²+..., où a est une constante réelle ..."
d. Calculer la constante a. En déduire la forme développée de f(x).

Où j'en suis dans mon devoir

Donc voici mes réponses:
a. g(x)= (x-1)²+1 et h(x)=2(x-1)²+1
b. Là je ne suis pas sûr du tout:
x²-2x+2 = 2x²-4x+3
(x-1)²=0 donc x=1 donc f(x)>ou= 1.
A partir de là je sèche. Depuis hier, cela fait 3 heure que je réfléchi à résoudre cet exercice.
Tout aide de votre part sera la bienvenue.
Je vous remercie par avance
Bon weekend à tous