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Sujet du devoir
x et y sont deux réels positifs non nuls.1) montrer que: x+y=1 ⇒ (x²+y²≥ 1/2 et x*y≤ 1/4)
2) conclure que: (x+(1/x))²+(y+(1/y))²≥ 25/2
Où j'en suis dans mon devoir
pour la première question je suis parti sur le faite que x+y=1 puis j'ai mis le tout au carré ce qui m'a donné x²+y²+2xy=1, c'est à dire que x²+y²=1-2xy mais après je n'ai pas su démontrer que 1-2xy est supérieur ou égal à 1/24 commentaires pour ce devoir
bonjour. merci pour votre aide. je n'ai pas bien compris "2((x-1/2)²+1/4) dont le minimum est 2*(1/4 =1/2 atteint quand x=1/2(=y)" pouvez vous m'explique s'il vous plait?
bonsoir et merci pour l'aide. si on met sur le même dénominateur 1/x²+1/y² on aura x²+y²+4+1/x²+1/y² est supérieur ou égal a [9/2+ (y²+x²)/(x²y²)] cela ne m'a pas permis à démontrer que le tout est supérieur ou égal à 25/2.comment puis je faire?
1/x²+1/y²=(x²+y²)/(x²y²)
Mais (x²+y²)>= 1/2 et x*y=<1/4
DONC (x²+y²)>=1/2 et x²y²=<1/16 ou 1/(x²y²)>=16
D'où 1/x²+1/y²=(x²+y²)/(x²y²)>=1/2*16=8
Donc x²+y²+4+1/x²+1/y² >=1/2+4+8=25/2.
Mais (x²+y²)>= 1/2 et x*y=<1/4
DONC (x²+y²)>=1/2 et x²y²=<1/16 ou 1/(x²y²)>=16
D'où 1/x²+1/y²=(x²+y²)/(x²y²)>=1/2*16=8
Donc x²+y²+4+1/x²+1/y² >=1/2+4+8=25/2.
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1) x+y=1 et x*y≤ 1/4 donc -2xy ≥ -1/2et x+y=1
donc 1-2xy≥ 1/2 et x+y=1 et donc x²+y²≥ 1/2
2) (x+(1/x))²+(y+(1/y))²=x²+2+y²+(1/x²)+2+1/y²≥1/2+4+1/x²+1/y².
Mets ensuite surle même dénominateur 1/x²+1/y².