Les polynôme du second degré

Sujet du devoir

Bonjour, j’ai un dm de math à faire pour la rentrée. J’ai bien avancé mais il reste des choses que je ne comprends pas. Je voudrais aussi avoir des conseils pour la rédactions svp. Merci d’avance ;)

Exercice 1
Soit f la fonction rationnelle définie par f(x)= (3x-4) / (x²(2-x))
a)Quel est l'ensemble de définition Df de f?
b)Démontrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x Df :
f(x) = a/x + b/x² + c/2-x

Exercice 2
On considère la parabole P d'équation y= x²+x+1 et la droite D d'équation y= -3x+p, où p est un paramètre réel. Quelle doit être la (ou les) valeur(s) du paramètre p de telle sorte que la parabole et la droite :
a) aient exactement un point d'intersection (on déterminera les coordonnées de ce point)?
b) aient exactement deux points d'intersection (on déterminera les coordonnées de ces points)?
c) n'aient aucun point d'intersection

Exercice 3
Un rectangle a pour périmètre 52m et pour aire 165 m². Quelles sont ses dimensions ?

Exercice 4
Le triangle de dimensions 3, 4, 6 n’est pas rectangle. Peut-on, en rajoutant une même longueur à ses trois côtés, obtenir un triangle rectangle ?

Exercice 5
a) Quelle est la longueur du côté d’un triangle équilatéral d’aire 20 cm² ?
b) Même question lorsque l’aire est égale à 25√3 cm².

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1
a) x² (2 – x) ≠ 0
x² ≠ 0 et 2 – x ≠ 0
x ≠ 0 et x ≠ 2
Df = R/ { 0 ; 2 }

b) f(x) = a/x + b/x² + c/(2-x)
f(x) = (ax (2-x))/(x²(2-x)) + (b(2-x) )/(x²(2-x)) + (cx²)/(x²(2-x))
f(x) = (2ax – ax² + 2b – bx + cx²) / (x² (2-x))
(3x – 4) / (x² (2 – x)) = (x (2a – b) + x² (- a + c) + 2b) / (x² (2 – x))
3x – 4 = x (2a – b) + x² (- a + c) + 2b
3x – 4 et x (2a – b) + x² (- a + c) + 2b sont des polynômes du second degré.
Si deux polynômes sont égaux alors leurs coefficients sont égaux.
2b = -4 donc b = -2
x (2a – b) = 3x soit 2a – b = 3 donc a = ½
x² (a – c) = 0 soit a = c donc c = ½

Exercice 2
a) La droite et la parabole n’ont qu’un seul point d’intersection.
On pose l’équation :
x² + x + 1 = - 3x + p
x² + x + 1 + 3x – p = 0
x² + 4x + 1 – p = 0
x² + 4x + 1 – p est un polynôme du second degré.
On calcule le discriminant :
∆ = 4² - 4*1*(1 – p) = 16 – 4(1 – p) = 16 – 4 – 4p = 12 – 4p
Le discriminant doit être égal à zéro pour que cette parabole aie une racine double et donc qu’elle n’aie qu’un point d’intersection avec la droite.
Donc 12 – 4p = 0
p = -3

b) La droite et la parabole ont deux points d’intersection.
On pose l’équation :
x² + 4x + 1 – p = 0
x² + 4x + 1 – p est un polynôme du second degré.
On calcule le discriminant :
∆ = 4² - 4*1*(1 – p) = 16 – 4(1 – p) = 16 – 4 – 4p = 12 – 4p
Le discriminant doit être supérieur à zéro pour que cette parabole aie deux racines et donc qu’elle aie deux points d’intersection avec la droite.
Donc 12 – 4p > 0
p > -3
Et après je suis bloquée, je ne comprend pas comment faire…

a) La droite et la parabole n’ont aucun point d’intersection.
On pose l’équation :
x² + 4x + 1 – p = 0
x² + 4x + 1 – p est un polynôme du second degré.
On calcule le discriminant :
∆ = 4² - 4*1*(1 – p) = 16 – 4(1 – p) = 16 – 4 – 4p = 12 – 4p
Le discriminant doit être inférieur à zéro pour que cette parabole n’aie pas de racine et donc qu’elle n’aie aucun point d’intersection avec la droite.
Donc 12 – 4p < 0
p < -3
Et après je suis bloquée, je ne comprend pas comment faire…

Exercice 3
x*y = 165 x*y = 165 y = 165/x
2x + 2y = 52 x + y = 26 x + y = 26
(x² + 165 – 26x)/x = 0 avec x ≠ 0
x² + 165 – 26x est un polynôme du second degré.
On calcule le discriminant :
∆ = 26² - 4*1*165 = 16
∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
x1 = (- b - √∆) / 2a = (26 - √16) / 2 = 11
x2 = (- b + √∆) / 2a = (26 + √16) / 2 = 15
Les solutions de l’équations sont 11 et 15.
y = 165/11 = 15
y = 165/15 = 11
Les dimensions du rectangle sont 11 et 15.

Exercice 4
D’après le théorème de Pythagore, le triangle modifié sera rectangle si :
(6 + x)² = (3 + x)² + (4 + x)²
36 + 12x + x² = 9 + 6x + x² + 16 + 8x + x²
x² + 2x – 11 = 0
x² + 2x – 11 est un polynôme du second degré.
On calcule le discriminant :
∆ = - 2² - 4*1*(-11) = 40
∆ > 0 donc le polynôme admet 2 racines :
x1 = (- 2 - √40)/2
x2 = (- 2 + √40)/2
Or x > 0 donc x1 < 0 est impossible.
Donc oui, on peut obtenir un triangle rectangle en rajoutant (- 2 + √40)/2 à ses trois côtés.

Exercice 5
Là je ne comprend pas trop le rapport avec les polynômes du second degré.
J’imagine qu’il faut résoudre l’équation ½*x*x√3/2 = 20 mais je ne comprend pas tout…