Lieu d'un barycentre

Sujet du devoir

ABC est un triangle. Pour tout réel m, on note Gm le barycentre de (a, 1-2m), (B,m), (C,m).
Prouvez que le lieu du barycentre Gm, lorque m décrit R(Réel), est une droite que vous préciserez...

Où j'en suis dans mon devoir

Alors voila ce que j'ai trouvé, je voulais juste qu'on me confirme si c'était bon ou qu'on me corrige à l'inverse...

On a Gm bar (A, 1 - 2m) (B, m) (C, m), j'ai rassemblé B et C en un point.
Donc soit H bar (B, m) (C, m) alors H milieu de [BC] et (AH) médiane issue de A.
Donc, G bar (A, 1 - 2m) (H, 2m).
Et tout ça pour m différent de 0.
Si m = 0, Gm bar (A, 1) (B, 0) (C, 0) donc, GA = 0 alors G = A, et G appartient ) (AH)
Donc le lieu de Gm est toujours la médiane (AH) issue de A.