Systémes inéquations et équations

Sujet du devoir

Ex 1 : résoudre les systèmes d’inéquations à 1 inconnues

1) - 4x - 8 ≤ - 10x + 1
      2 - x ≥ 6x - 6

2) 10 - 3x < - 4x + 9
      8 (x - 1) > - 10 (4x - 6)

3) - 8 * (x² - 9) + 44x² > (1 + 6x)²
     15 - x ≤ - (5 - x)

Ex 2 : résoudre les systèmes d’équations à 2 inconnues graphiquement et par le calcul.

4) 2x + 5y =3

    4x + 2y = 20

5) x+3y=6
    y=5x+1

6)    x-y=5
    -3x=-y+2

Où j'en suis dans mon devoir

Ex 1 : résoudre les systèmes d’inéquations à 1 inconnues

1) - 4x - 8 ≤ - 10x + 1
      2 - x ≥ 6x - 6

- 4x - 8 ≤ - 10x + 1
La solution:
x ≤ 1 1/2
(- ∞, 1 1/2 ]

- 4x - 8 ≤ - 10x + 1 | + 10x
6x - 8 ≤ 1 | + 8
6x ≤ 9 | : 6
x ≤ 9/6
x ≤ 3/2
x ≤ 1 1/2
(- ∞, 1 1/2 ]
1 1/2 = 1.5

2 - x ≥ 6x - 6
La solution:
x ≤ 1 1/7
(- ∞, 1 1/7 ]

2 - x ≥ 6x - 6
- x + 2 ≥ 6x - 6 | - 6x
- 7x + 2 ≥ - 6 | - 2
- 7x ≥ - 8 | * (-1)
7x ≤ 8 | : 7
x ≤ 8/7
x ≤ 1 1/7
(- ∞, 1 1/7 ]
1 1/7 = 1.1428571

2) 10 - 3x < - 4x + 9
     8 (x - 1) > - 10 (4x - 6)

10 - 3x < - 4x + 9
La solution:
x < - 1
(- ∞, - 1)

10 - 3x < - 4x + 9
- 3x + 10 < - 4x + 9 | + 4x
x + 10 < 9 | - 10
x < - 1
x < - 1
(- ∞, - 1)

8 * (x - 1) > - 10 * (4x - 6)
La solution:
x > 1 5/12
(1 5/12 , + ∞)

8 * (x - 1) > - 10 * (4x - 6)
(8x - 8) > - 10 * (4x - 6)
8x - 8 > - 10 * (4x - 6)
8x - 8 > ( - 40x + 60)
8x - 8 > - 40x + 60
PGCD(8,8,40,60) = 4
8x - 8 > - 40x + 60 | :4
2x - 2 > - 10x + 15 | + 10x
12x - 2 > 15 | + 2
12x > 17 | : 12
x > 17/12
x > 1 5/12
(1 5/12 , + ∞)
1 5/12 = 1.4166667

3) - 8 * (x² - 9) + 44x² > (1 + 6x)²
     15 - x ≤ - (5 - x)

- 8 * (x² - 9) + 44x² > (1 + 6x)²
La solution:
x < 5 11/12
(- ∞, 5 11/12 )

- 8 * (x² - 9) + 44x² > (1 + 6x)²
( - 8x² + 72) + 44x² > (1 + 6x)²
36x² + 72 > (1 + 6x)²
36x² + 72 > (6x + 1)²
36x² + 72 > 36x² + 12x + 1 | - 36x² - 12x - 1
- 12x + 71 > 0 | - 71
- 12x > - 71 | * (-1)
12x < 71 | : 12
x < 71/12
x < 5 11/12
(- ∞, 5 11/12 )
5 11/12 = 5.9166667

15 - x ≤ - (5 - x)
La solution:
x ≥ 10
[10, + ∞)

15 - x ≤ - (5 - x)
- x + 15 ≤ - (5 - x)
- x + 15 ≤ - ( - x + 5)
- x + 15 ≤ x - 5 | - x
- 2x + 15 ≤ - 5 | - 15
- 2x ≤ - 20 | * (-1)
2x ≥ 20 | : 2
x ≥ 20/2
x ≥ 10
[10, + ∞)

Ex 2 : résoudre les systèmes d’équations à 2 inconnues graphiquement et par le calcul.

4) 2x + 5y =3

     4x + 2y = 20
Le déterminant du système = 2 × 2 − 4 × -5 = 4 + 20 = 24
Le déterminant est différent de zéro, le système admet comme solution le couple (x;y) = (53/12 ; 7/6).

détail des calculs (méthode de cramer) :
x = (3 × 2 − 20 × -5) / 24
x = (6 + 100) / 24
x = (106) / 24
x = 53/12 après réduction

y = (20 × 2 − 3 × 4) / 24
y = (40 − 12) / 24
y = (28) / 24
y = 7/6 après réduction

5) x+3y=6
    y=5x+1
x+3y=6    X+3(5x+1)=6    X+15x+3=6   16x+3=6         16x=6 -3         16x=3
y=5x+1    Y=5x+1              Y=5x+1       Y=5x+1            Y=5x+1          Y=5x+1

X= 3/16
Y=5x+1*16/3

6) X-y=5         X-y(-y+2)=5  X-y²+ 2y=5
   -3x=-y+2    -3x=-y+2      -3x=-y+2