Valider une conjecture (DM)

Sujet du devoir

Soit (d) une droite de F un point n'appartenant pas à (d)
(MI) est perpendiculaire à (d) et MI =IF

Rappels :
1) Dans un repère orthonormé si A(xA;yA) etB (xB;yB) alors AB = Racine((xB-xA)²+(yB-yA)²)
2)Si a et b deux réels positifs, a=b ==> a²=b²

On considère un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est la droite (d) et dont l'axe des abscisses passe par F
On note "a" l'ordonnée de F (a est fixe).Soit x l'abscisse de M.
Faire une figure, construire le point I. Ecrire les coordonnées de M et F dans ce repère.
On note (xI;yI)les coordonnées de I.
Traduire les deux conditions vérifiées par I à l'aide des coordonnées.
On démontrera que yI=(1/2a)*xI²+a/2
Prouver alors quel est l'ensemble des positions prises par le point I, et son axe de symétrie.

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai fait la figure, avec M(5;5) et F(0;4)
Je trouve alors I(3;5)
J'ai fait une figure avec le logiciel géogebra et j'ai vue que l'ensemble des positions du point I est une parabole avec un centre de symétrie mais je n'arrive pas à la prouver. Merci de bien vouloir m'aider.