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Sujet du devoir
Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée mais je suis bloquée. Je vous mets la figure en pièce jointe.
Soit un cercle C de centre O et de rayon r et M un point quelconque de ce cercle.
La médiatrice de [OM] coupe C en P et P'; on trace les tangentes à C aux points P et P'; elles se coupent en un point T.
On cherche sur quelle ligne se déplace T lorsque M se déplace sur C.
1. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, quelle conjecture peut-on faire sur la ligne décrite par T ?
2.a. Justifier que (OM) est axe de symétrie pour la figure; quelle est la conséquence pour les points T, M et O ?
b. Que dire du point M pour le triangle POT ? En déduire la valeur de OT en fonction de r et justifier alors la ligne sur laquelle se déplace T.
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fait la figure sur un logiciel de géométrie dynamique.
J'ai trouvé que la distance OT était égal à 2r et que les points T,M et O sont alignés.
J'ai aussi trouvé que le triangle PTP' était équilatéral mais je n'arrive pas à le démontrer.
Pour les autres questions, je pense avoir des pistes mais je n'arrive pas à l'exprimer et à le démontrer.
Merci d'avance pour votre réponse.
1 commentaire pour ce devoir
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Donc T décrit un cercle de rayon 2r. Pour montrer cette conjecture il faut donc démontrer que OT=2r.
Pour montrer la symétrie globale, il faut la détailler pour chaque élément de construction.
Puisque O est le centre de C et que M lui appartient, (OM) est nécessairement un axe de symétrie pour le cercle.
La médiatrice respecte aussi par construction la symétrie car elle est perpendiculaire à (OM).
Autrement dit, les intersections des deux ensembles respectent nécessairement la symétrie.
MP=MP' et OP=OP'
Par conséquent, les tangentes qui sont construites sur des éléments symétriques respectent toujours la symétrie, puisqu'elles ne sont pas parallèles (car ...) Elles admettent une et une seule intersection. Par unicité, cette singularité respectant la symétrie est nécessairement sur l'axe de symétrie. Donc T appartient à (OM). Les 3 points sont donc alignés.
Soit A le milieu de [OM]. Trouve la longueur AP. Déduis en l'angle APT. Puis la longueur PT et enfin OT grâce aux relations trigonométriques (notamment les résultats sur les valeurs particulières à 30, 45 et 60 degrés (Pi sur 6, 4 et 3).