Les Limites

bonjour

je ne suis pas allée au bout du raisonnement,
mais j'essaierais de factoriser au maximum (x-1), pour pouvoir simplifier ensuite.

rappel
1 - x² = (1+x)(1-x)
et plus généralement qq soit n>0
on peut factoriser (x-1) dans x^n - 1

qu'en penses-tu ?

oui, mais je suis toujours confronté au même problème, comment prouver que (1-x^(n-1))(1-x^n)= (1-x)k

je n'ai pas l'énoncé complet,
mais tu as essayé par récurrence ?

le voila:

lim (1-x²)^n/(1-x)(1-x²)(1-x^3).....(1-x^n)
x->1

oui j'ai déjà essayé, il faut prouver que (1-x^(n+1))=(1-x)k
donc c'est toujours le même problème.

bonjour carita, bonjour kenboy,

je mets mon grain de sel.. une piste en toute modestie, car je ne suis sûre de rien..

il me semble qu'on peut examiner le rapport des termes de plus haut degré.
Ici, au numerateur, le terme de plus haut degré sera x^2n

quel sera le terme de plus haut degré au dénominateur ?
la puissance de x sera la somme des premiers entiers de 1 à n

on peut l'écrire n(n+1)/2.

donc la limite de l'expression quand x->1,
est egale a la limite de x^2n / x^(n(n+1)/2
et egale a la limite de x²/x^(n+1)/2


qu'en dites vous ?

voilà ce que j'ai trouvé:
FI 0/0 on est d'accord

lim (1-x²)^n/(1-x)(1-x²)(1-x^3).....(1-x^n)
x->1

numérateur:
(1-x²)^n = (1+x)^n * (1-x)^n

déno: (1-x)(1-x²)(1-x^3).....(1-x^n)

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/IdentAut.htm#dn
voir bas de page
donc (1-x^n) peut s'écrire (1-x)* (1+x+x²+...+x^(n-1))

lorsque n=1, ça devient (1-x^1) =(1-x)*(1)
lorsque n=2, (1-x^2) =(1-x)*(1+x)
lorsque n=3, (1-x^3) =(1-x)*(1+x²)
etc.

si on multiplie tous ces facteurs, on va avoir :
(1-x)(1-x²)(1-x^3).....(1-x^n)
= (1-x)^n * (des facteurs positifs)

ces facteurs positifs sont
(1+x)^0
(1+x)^1
(1+x)²
(1+x)³
...(1+x)^n

dont le produit
= (1+x)^(0+1+2+3+4+...+n) = (1+x)^(n(n+1)/2)

en effet, 1+2+3+4+...+n est la somme des 1ers termes d'une suite arith. de 1er terme 1 et de raison 1
et on sait que c'est = n(n+1)/2


en reconstituant la fraction de l'énoncé, les (1-x)^n se simplifient, reste:
au num : (1+x)^n
au déno : (1+x)^(n(n+1)/2) = (1+x)^n * (1+x)^(n+1)/2)
on a levé l'indétermination
tu peux finir ?

ps : j’espère ne pas avoir dit de bêtise !
je compte sur mes petits camarades pour me reprendre au cas où
et sur ton avis !

Hi Leilé :)
ton "grain de sel" est le bienvenu !
bonne journée à tous les deux :)

merci tout le monde, Carita, tu n'avais pas à tout écrire, je pouvais terminer moi même, tout ce dont j'avais besoin était ceci:
a^n – 1=(a – 1) (a^(n–1) + a^(n–2) + ... + a + 1). votre aide a été précieuse, je vous remercie :)

super !
bonne journée :)